Calcolo volume di un insieme
Ciao a tutti di nuovo!
Sto cercando di calcolare il volume dell'insieme definito da
$ E={(x,y,z,)^T in mathbb(R)^3 : sqrt(x^2+y^2/4)-1<=z<=1- x^2-y^2/4} $
Ho capito la forma di tale insieme, si tratta dell'intersezione tra un paraboloide ellittico con concavita' rivolta verso il basso e vertice in $(0,0,1)^T$ ed un cono ellittico "con concavita' rivolta verso l'alto" (se cosi' si puo' dire) e vertice in $(0,0,-1)^T$.
Io ho pensato di integrare per sezioni lungo l'asse z, spezzando l'integrale in due, il primo tra -1 e 0, e l'altro tra 0 e -1.
Ora pero' non riesco a calcolare gli estremi di integrazione per le sezioni:
immagino di dover utilizzare le coordinate ellittiche per integrare su rettangoli, ma non vedo come.
Grazie in anticipo per i suggerimenti.
Giacomo
Sto cercando di calcolare il volume dell'insieme definito da
$ E={(x,y,z,)^T in mathbb(R)^3 : sqrt(x^2+y^2/4)-1<=z<=1- x^2-y^2/4} $
Ho capito la forma di tale insieme, si tratta dell'intersezione tra un paraboloide ellittico con concavita' rivolta verso il basso e vertice in $(0,0,1)^T$ ed un cono ellittico "con concavita' rivolta verso l'alto" (se cosi' si puo' dire) e vertice in $(0,0,-1)^T$.
Io ho pensato di integrare per sezioni lungo l'asse z, spezzando l'integrale in due, il primo tra -1 e 0, e l'altro tra 0 e -1.
Ora pero' non riesco a calcolare gli estremi di integrazione per le sezioni:
immagino di dover utilizzare le coordinate ellittiche per integrare su rettangoli, ma non vedo come.
Grazie in anticipo per i suggerimenti.
Giacomo
Risposte
Suggerimento sul cambio di variabile? \begin{cases}
x=\rho\cos{\theta}\\
y=2\rho\sin{\theta}
\end{cases} e poi, vabbè, \(z=z\) (coordinate cilindriche).
Ma non son sicuro di aver risposto alla domanda
x=\rho\cos{\theta}\\
y=2\rho\sin{\theta}
\end{cases} e poi, vabbè, \(z=z\) (coordinate cilindriche).
Ma non son sicuro di aver risposto alla domanda
L'idea di passare alle coordinate ellittiche è buona e la trasformazione è quella che ti ha suggerito Seb. Ora si tratta semplicemente di impostare l'integrale e poi cambiare coordinate 
"seb":
Ma non son sicuro di aver risposto alla domanda
In effetti, la mia domanda riguardava gli estremi di integrazione: le sezioni sono ellittiche, ma $rho=rho(z)$ ; il mio problema e' trovare $rho(z)$.
Spero di essermi spiegato meglio, intanto grazie per l'aiuto!
G
Il dominio che stai considerando è normale: $$\bigg\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : (x,y) \in [-1,-1] \times [-2,-2], \sqrt{x^2+\frac{y^2}{4}} -1 \leq z \leq 1 -x^2 - \frac{y^2}{4}\bigg\}$$
Trasformato in coordinate ellittiche, diventa:
$$\bigg\{(\rho,\theta,z) \in \mathbb{R}^3 : (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2 \pi], \rho -1 \leq z \leq 1 -\rho^2\bigg\}$$
Quindi ti conviene lasciare z compreso tra due funzioni di $\rho$ piuttosto che il contrario.
Trasformato in coordinate ellittiche, diventa:
$$\bigg\{(\rho,\theta,z) \in \mathbb{R}^3 : (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2 \pi], \rho -1 \leq z \leq 1 -\rho^2\bigg\}$$
Quindi ti conviene lasciare z compreso tra due funzioni di $\rho$ piuttosto che il contrario.
Grazie mille.
Mi ostinavo a non vedere che il dominio fosse normale, cosi' e' molto piu' semplice.
Saluti
Giacomo
Mi ostinavo a non vedere che il dominio fosse normale, cosi' e' molto piu' semplice.
Saluti
Giacomo
Prego 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo