Calcolo volume compreso tra più superfici
Buonasera. Sono incappato in un esercizio d'esame di analisi 2. Integrali multipli.
Il problema non è l'integrale multiplo, ma l'impostazione dello stesso.
Praticamente io ho vari piani:
- $y=x^2-2$ parabola con asse coincidente colle ordinate
- $y=-3$ piano parallelo al piano x_z
- $z=0$ piano parallelo al piano x_y
- $z=y+5$ piano inclinato
Disegnarli non è difficile, più o meno. Il mio problema è impostare l'integrale. Per poi fare il cambio di variabile e utilizzando lo iacobiano.
Fintanto che ho a che fare con ellissi e paraboloidi, basta fare quadrica sopra meno quadrica sotto, e il gioco è fatto: ma qui ho dei vincoli diversi e non so cosa fare.
Se qualcuno mi aiuta a sbloccarmi mi fa un piacere.
Il problema non è l'integrale multiplo, ma l'impostazione dello stesso.
Praticamente io ho vari piani:
- $y=x^2-2$ parabola con asse coincidente colle ordinate
- $y=-3$ piano parallelo al piano x_z
- $z=0$ piano parallelo al piano x_y
- $z=y+5$ piano inclinato
Disegnarli non è difficile, più o meno. Il mio problema è impostare l'integrale. Per poi fare il cambio di variabile e utilizzando lo iacobiano.
Fintanto che ho a che fare con ellissi e paraboloidi, basta fare quadrica sopra meno quadrica sotto, e il gioco è fatto: ma qui ho dei vincoli diversi e non so cosa fare.
Se qualcuno mi aiuta a sbloccarmi mi fa un piacere.
Risposte
Proviamo a fare un po' di calcoli per capire come è fatto il solido... A rigore comunque non sono piani ma superfici.
[tex]\Sigma_1 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=x^2 - 2\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_1(u_1,v_1)=(u_1,u_1^2-2,v_1)[/tex] con [tex](u_1,v_1)\in \mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\Sigma_2 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_2(u_2,v_2)=(u_2,-3,v_2)[/tex] con [tex](u_2,v_2)\in \mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\Sigma_3 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z=0\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_3(u_3,v_3)=(u_3,v_3,0)[/tex] con [tex](u_3,v_3)\in \mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z=y+5\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_4(u_4,v_4)=(u_4,v_4,v_4+5)[/tex] con [tex](u_4,v_5)\in \mathbb{R}^2[/tex]
Per farmi una idea maggiore mi calcolo le interesezioni a due a due delle superfici...
[tex]\Sigma_1 \cap \Sigma_2 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3, x^2=-1\} = \O[/tex]
[tex]\Sigma_1 \cap \Sigma_3 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=x^2-2, z=0\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_1(t_1) = (t_1,t_1^2-2,0)[/tex] con [tex]t_1\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_1 \cap \Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x^2+3 = z, y=x^2-2 \}[/tex] che è una curva parametrizzata da [tex]\gamma_2(t_2) = (t_2,t_2^2-2,t_2^2+3)[/tex] con [tex]t_2\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_2 \cap \Sigma_3 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3, z=0\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_3(t_3) = (t_3,-3,0)[/tex] con [tex]t_3\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_2 \cap \Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3, z=-2\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_4(t_4) = (t_4,-3,-2)[/tex] con [tex]t_4\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_3 \cap \Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-5, z=0\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_5(t_5) = (t_5,-5,0)[/tex] con [tex]t_5\in \mathbb{R}[/tex]
Ma sei sicuro che sia un solido quello contenuto lì dentro?
[tex]\gamma_3[/tex], [tex]\gamma_4[/tex] e [tex]\gamma_5[/tex] sono rette parallele tra di loro, inoltre [tex]\gamma_1\cap\gamma_2 = \O[/tex].
Per lo più [tex]\gamma_1\cap\gamma_3 = \O[/tex], [tex]\gamma_1\cap\gamma_4 = \O[/tex], [tex]\gamma_1\cap\gamma_5=\O[/tex] e [tex]\gamma_2\cap\gamma_3 = \O[/tex], [tex]\gamma_2\cap\gamma_4 = \O[/tex], [tex]\gamma_2\cap\gamma_5=\O[/tex]. Quindi le curve [tex]\gamma_i[/tex] non si intersecano tra di loro.
Quindi a mio avviso qualsiasi cosa delimitata da quelle superfici non ha volume finito.
OSSERVAZIONE: Se fosse limitato sulla [tex]x[/tex] allora avrebbe senso calcolare il volume oppure l'area della superficie...
[tex]\Sigma_1 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=x^2 - 2\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_1(u_1,v_1)=(u_1,u_1^2-2,v_1)[/tex] con [tex](u_1,v_1)\in \mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\Sigma_2 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_2(u_2,v_2)=(u_2,-3,v_2)[/tex] con [tex](u_2,v_2)\in \mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\Sigma_3 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z=0\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_3(u_3,v_3)=(u_3,v_3,0)[/tex] con [tex](u_3,v_3)\in \mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid z=y+5\}[/tex] in altre parole è parametrizzata da [tex]\mathbf{r}_4(u_4,v_4)=(u_4,v_4,v_4+5)[/tex] con [tex](u_4,v_5)\in \mathbb{R}^2[/tex]
Per farmi una idea maggiore mi calcolo le interesezioni a due a due delle superfici...
[tex]\Sigma_1 \cap \Sigma_2 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3, x^2=-1\} = \O[/tex]
[tex]\Sigma_1 \cap \Sigma_3 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=x^2-2, z=0\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_1(t_1) = (t_1,t_1^2-2,0)[/tex] con [tex]t_1\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_1 \cap \Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x^2+3 = z, y=x^2-2 \}[/tex] che è una curva parametrizzata da [tex]\gamma_2(t_2) = (t_2,t_2^2-2,t_2^2+3)[/tex] con [tex]t_2\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_2 \cap \Sigma_3 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3, z=0\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_3(t_3) = (t_3,-3,0)[/tex] con [tex]t_3\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_2 \cap \Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-3, z=-2\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_4(t_4) = (t_4,-3,-2)[/tex] con [tex]t_4\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\Sigma_3 \cap \Sigma_4 = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid y=-5, z=0\}[/tex] che è un curva parametrizzata da [tex]\gamma_5(t_5) = (t_5,-5,0)[/tex] con [tex]t_5\in \mathbb{R}[/tex]
Ma sei sicuro che sia un solido quello contenuto lì dentro?
[tex]\gamma_3[/tex], [tex]\gamma_4[/tex] e [tex]\gamma_5[/tex] sono rette parallele tra di loro, inoltre [tex]\gamma_1\cap\gamma_2 = \O[/tex].
Per lo più [tex]\gamma_1\cap\gamma_3 = \O[/tex], [tex]\gamma_1\cap\gamma_4 = \O[/tex], [tex]\gamma_1\cap\gamma_5=\O[/tex] e [tex]\gamma_2\cap\gamma_3 = \O[/tex], [tex]\gamma_2\cap\gamma_4 = \O[/tex], [tex]\gamma_2\cap\gamma_5=\O[/tex]. Quindi le curve [tex]\gamma_i[/tex] non si intersecano tra di loro.
Quindi a mio avviso qualsiasi cosa delimitata da quelle superfici non ha volume finito.OSSERVAZIONE: Se fosse limitato sulla [tex]x[/tex] allora avrebbe senso calcolare il volume oppure l'area della superficie...
Deve essere un volume finito perchè è un esercizio d'esame, che ha una soluzione finita.
Il testo recita così: "Trovare il volume del solido compreso fra le superfici:"
Secondo te non ha proprio soluzioni?
Il testo recita così: "Trovare il volume del solido compreso fra le superfici:"
Secondo te non ha proprio soluzioni?
Mah, non so... forse mi sbaglio io comunque...
[tex]\Gamma_t = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid -t\le x\le t,\ -3\le y\le x^2-2,\ 0\le z\le y+5\}[/tex]
L'integrale, se non ho fatto errori, è [tex]Vol(\Gamma_t) = 2\int_0^t dx\int_{-3}^{x^2-2} dy\int_0^{y+5}dz = 2\int_0^t dx\int_{-3}^{x^2-2} y+5\ dy =[/tex]
[tex]= 2\int_0^t 1/2(x^2-3)^2 - 9/2 + 5x^2-10 - 15 dx = \int_0^t (x^4 + 9 -6x^2) - 9 + 10x^2 - 50 dx =[/tex]
[tex]= \int_0^t x^4 + 4x^2 - 50 dx = \int_0^tx^4dx + 4\int_0^tx^2dx - 50\int_0^tdx =[/tex]
[tex]\displaystyle= \frac{t^5}{5} + \frac{4t^3}{3} - 50t = t \left(\frac{t^4}{5} + \frac{4t^2}{3} - 50\right)[/tex]
Ovviamente [tex]\lim_{t\to +\infty} Vol(\Gamma_t) = +\infty[/tex]
[tex]\Gamma_t = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid -t\le x\le t,\ -3\le y\le x^2-2,\ 0\le z\le y+5\}[/tex]
L'integrale, se non ho fatto errori, è [tex]Vol(\Gamma_t) = 2\int_0^t dx\int_{-3}^{x^2-2} dy\int_0^{y+5}dz = 2\int_0^t dx\int_{-3}^{x^2-2} y+5\ dy =[/tex]
[tex]= 2\int_0^t 1/2(x^2-3)^2 - 9/2 + 5x^2-10 - 15 dx = \int_0^t (x^4 + 9 -6x^2) - 9 + 10x^2 - 50 dx =[/tex]
[tex]= \int_0^t x^4 + 4x^2 - 50 dx = \int_0^tx^4dx + 4\int_0^tx^2dx - 50\int_0^tdx =[/tex]
[tex]\displaystyle= \frac{t^5}{5} + \frac{4t^3}{3} - 50t = t \left(\frac{t^4}{5} + \frac{4t^2}{3} - 50\right)[/tex]
Ovviamente [tex]\lim_{t\to +\infty} Vol(\Gamma_t) = +\infty[/tex]
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