Calcolo volume

[LUCIANO741]

Ciao a tutti, dovrei risolvere il seguente esercizio:
Trovare il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse X dell'insieme:
$D={(x,y) in RR^2: x^2+y^2<=6, x^2>=y, y>=0}$
Io l'ho risolto cosi:
$V=$$\2*pi$$\int_0^sqrt(2)sqrt((6-x^2))^2dx$ - $\2*pi$$\int_0^sqrt(2)(x^2)dx$
ma non mi viene il risultato che dovrebbe coincidere con uno dei seguenti valori:
- $\4*pi$$(2sqrt(6)-34/15sqrt(2))$
- $\8*pi$$(2sqrt(6)-34/15sqrt(2))$
- $\2*pi$$(2sqrt(6)-34/15sqrt(2))$

grazie a tutti

P.S:
Se ho ben capito l'insieme dovrebbe essere dato dall'intersezione della semicirconferenza con la parabola, giusto?

[asvg]axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("sqrt(6-x^2)"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("x^2"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2[/asvg]

[vittorino70]

La superficie che ruota è quella in colore rosso. Data la evidente simmetria rispetto all'asse y, il volume si può calcolare come :
\(\displaystyle V=2\pi\int_0^{\sqrt2}(x^2)^2dx+2\pi\int_{\sqrt2}^{\sqrt6}(\sqrt{6-x^2})^2dx\)
Il risultato esatto dovrebbe essere ( salvo errori da parte mia ..) il primo di quelli che hai riportato.

[LUCIANO741]

Grazie per la risposta.
In questo caso allora è sbagliato il testo nel problema in quanto l'insieme che tu hai rappresentato nel grafico corrisponde alla condizione $x^2<=y$ e non $x^2>=y$, giusto ?

ciao

[vittorino70]

Il calcolo corrisponde alla condizione \(\displaystyle x^2\geq y \) che è esattamente quella del testo. Il grafico l'ho fatto fare a GeoGebra che per queste cose è estremamente utile. La zona da considerare è quella "sotto" la parabola ( con la condizione \(\displaystyle x^2\leq y \) la zona sarebbe invece quella "sopra " la parabola ) e "dentro" la circonferenza .

[LUCIANO741]

ok grazie 1000