Calcolo valore serie con approssimazione
Ciao a tutti! Ho letto gli articoli http://appunti.****/appunti/ ... 2-6550.htm
e
http://appunti.****/appunti/ ... _-6521.htm
per il calcolo delle sommatorie con i relativi errori! Li ho letti perché speravo potessero fornirmi un esempio sulla risoluzione della seguente sommatoria
$\sum_{n=1}^infty \frac{(-1)^n}{1+2^n}\$
con approssimazione inferiore a 0,001
Mi ero già ricavato che è convergente con il criterio del rapporto! Ma comunque non riesco a determinarmi il valore della sommatoria approssimato! Potete aiutarmi per favore ? Grazie ciao!
In qualche modo può centrare Taylor o McLaurin ???
Oppure in questo momento ho svolto un esercizio nella pagina dove ho pescato l'esercizio sulla serie di potenze! potrebbe centrare anche quella anche se ho serissimi dubbi a riguardo! Adesso provo e nel frattempo spero in una vostra risposta e/o illuminazione a riguardo!
e
http://appunti.****/appunti/ ... _-6521.htm
per il calcolo delle sommatorie con i relativi errori! Li ho letti perché speravo potessero fornirmi un esempio sulla risoluzione della seguente sommatoria
$\sum_{n=1}^infty \frac{(-1)^n}{1+2^n}\$
con approssimazione inferiore a 0,001
Mi ero già ricavato che è convergente con il criterio del rapporto! Ma comunque non riesco a determinarmi il valore della sommatoria approssimato! Potete aiutarmi per favore ? Grazie ciao!
In qualche modo può centrare Taylor o McLaurin ???
Oppure in questo momento ho svolto un esercizio nella pagina dove ho pescato l'esercizio sulla serie di potenze! potrebbe centrare anche quella anche se ho serissimi dubbi a riguardo! Adesso provo e nel frattempo spero in una vostra risposta e/o illuminazione a riguardo!
Risposte
Devi usare, in modo appropriato, il criterio di Leibniz per le serie a segni alterni. (come dice anche l'autore degli articoli)
Te lo riporto:
Prova ad applicarlo e per ogni problema chiedi pure...
Te lo riporto:
Sia ${a_k}$ una successione tale che:
(i) $lim_(k\tooo) a_k = 0$
(ii) ${a_k}$ è definitivamente non negativa e decrescente per $k \to oo$, ovvero esiste $k_0 in NN$ tale che $0<=a_(k+1)<=a_k$ $AA k>=k_o$
Allora la serie $s = \sum_(k=0)^oo (-1)^k a_k $ è semplicemente convergente.
Inoltre, e qui la parte che ti interessa di più, l'errore che si commette approssimando $s$ con $s_n$ è :
$| \sum_(k=0)^oo (-1)^k a_k - \sum_(k=0)^n (-1)^k a_k| < a_(n+1) $ $AA n>=k_o$
Prova ad applicarlo e per ogni problema chiedi pure...
Grazie per l'articolo anzitutto!
Comunque io non riesco a capire come applicarlo! Me lo spieghi cortesemente ? Perché non riesco proprio! Cioè alla serie infinita tolgo i termini fino ad n della seconda serie ma poi mi rimane comunque una parte rimanente che non so come calcolare! Se mi dici come fare ti ringrazio!
Comunque io non riesco a capire come applicarlo! Me lo spieghi cortesemente ? Perché non riesco proprio! Cioè alla serie infinita tolgo i termini fino ad n della seconda serie ma poi mi rimane comunque una parte rimanente che non so come calcolare! Se mi dici come fare ti ringrazio!
Innanzitutto mi scuso per la poca celerità nel rispondere, ma non mi e' stato possibile accedere ad internet.
Per quanto riguarda l'esercizio...
La prima cosa da valutare e' la convergenza della serie presa in esame... che hai, in qualche modo, gia' appurato.
Ora riscrivo la serie...
$s = \sum_(n=1)^oo (-1)^n/(1+2^n)$
Puoi accorgerti facilmente che rispetta le condizioni volute dal criterio di Leibniz, decrescenza e convergenza a zero dei termini. ( quando vedi una serie a termini alterni il primo pensiero va a questo criterio )
Dunque possiamo utilizzare l'ultima parte dell'enunciato per stimare l'errore commesso:
$ |s - s_n | <= a_(n+1) $
dove $ a_(n+1) $ e' proprio l'errore commesso, che nel tuo caso vale $ 10^(-3) $ .
Dunque bisogna trovare la prima $n$ valida per la quale i termini della serie minorano $ 10^(-3) $ .
Vediamo che gia' per $n = 9$ abbiamo :
$1/(1+2^10) = 0,00097... $ ... che potrebbe andar bene. Controlliamo se stiamo troppo larghi:
$1/(1+2^9) = 0,0019... $ ... che non va bene. E' maggiore di $10^(-3)$ !
Bene, abbiamo trovato la nostra $n$ ... Non resta che risolvere l'esercizio calcolando questa:
$s_9 = \sum_(n=1)^9 (-1)^n/(1+2^n)$
... che ora sai calcolare; avrai calcolato la serie di partenza con un approssimazione dello $0,001$ ( $ 10^(-3) $ ) .
Per quanto riguarda l'esercizio...
La prima cosa da valutare e' la convergenza della serie presa in esame... che hai, in qualche modo, gia' appurato.
Ora riscrivo la serie...
$s = \sum_(n=1)^oo (-1)^n/(1+2^n)$
Puoi accorgerti facilmente che rispetta le condizioni volute dal criterio di Leibniz, decrescenza e convergenza a zero dei termini. ( quando vedi una serie a termini alterni il primo pensiero va a questo criterio )
Dunque possiamo utilizzare l'ultima parte dell'enunciato per stimare l'errore commesso:
$ |s - s_n | <= a_(n+1) $
dove $ a_(n+1) $ e' proprio l'errore commesso, che nel tuo caso vale $ 10^(-3) $ .
Dunque bisogna trovare la prima $n$ valida per la quale i termini della serie minorano $ 10^(-3) $ .
Vediamo che gia' per $n = 9$ abbiamo :
$1/(1+2^10) = 0,00097... $ ... che potrebbe andar bene. Controlliamo se stiamo troppo larghi:
$1/(1+2^9) = 0,0019... $ ... che non va bene. E' maggiore di $10^(-3)$ !
Bene, abbiamo trovato la nostra $n$ ... Non resta che risolvere l'esercizio calcolando questa:
$s_9 = \sum_(n=1)^9 (-1)^n/(1+2^n)$
... che ora sai calcolare; avrai calcolato la serie di partenza con un approssimazione dello $0,001$ ( $ 10^(-3) $ ) .
Grazie! Penso di aver capito tutto eccetto una cosa molto importante che penso ti farà cascare le braccia visto che non comprendo bene 
! Se io effettuo però $\frac[(-1)^-9][1+2^9]$ mi viene fuori un numero negativo certamente minore di $10^-3$
Mi spieghi cortesemente
???
Grazie e ciao!
! Se io effettuo però $\frac[(-1)^-9][1+2^9]$ mi viene fuori un numero negativo certamente minore di $10^-3$Mi spieghi cortesemente
???Grazie e ciao!
Non c'è occasione di effettuare quell'operazione, dunque non capisco.
Ricordati che nel calcolo finale siamo difronte ad una SERIE... dunque $(-1)^1/(1+2^1) + (-1)^2/(1+2^2) ... $ e via dicendo.
Ricordati che nel calcolo finale siamo difronte ad una SERIE... dunque $(-1)^1/(1+2^1) + (-1)^2/(1+2^2) ... $ e via dicendo.
Scusa il ritardo! Ieri e l'altro ieri son state per lo studio di matematica giornate impegnative ! Comunque io mi riferivo all'errore! Devo trovare un numero il cui errore è minore di $10^-3$! Allora ho pensato che anche $(-1)^9/(1+2^9)$ è minore di $10^-3$ (forse avevo scritto male prima!). Chiaro o mi spiego meglio ?
! Comunque io mi riferivo all'errore! Devo trovare un numero il cui errore è minore di $10^-3$! Allora ho pensato che anche $(-1)^9/(1+2^9)$ è minore di $10^-3$ (forse avevo scritto male prima!). Chiaro o mi spiego meglio ?
Abbiamo detto che $a_(n+1)$ e' l'errore... Bene. Cosa sono gli $a_n$ ? Non sono mica i termini della tua serie... Sono i tuoi termini in modulo!
Quindi devo prenderli in modulo ?? Allora ho capito tutto! Grazie Veramente di tutto, e scusa per il ritardo! Sto studiando anche altre cose di matematica e sono preso da impegni di altro genere! Ti prego quindi di perdonarmi! Ottimo e grazie! Veramente! =) 
Grazie Veramente di tutto, e scusa per il ritardo! Sto studiando anche altre cose di matematica e sono preso da impegni di altro genere! Ti prego quindi di perdonarmi! Ottimo e grazie! Veramente! =)
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