Calcolo Trasformata Discreta Fourier
Salve a tutti, ho questo esercizio:
Calcolare la DTF della sequenza numerica:
$ {X_n}={1,2,0.5,-0.5} $
Io ho queste formule:
DTF $ X_k = 1/N sum_(N-1)^(n) X_n e^(-j2pink/N) $
IDTF $ X_n = 1/N sum_(N-1)^(k=0) X_k e^(j2pink/N) $
Devo usarela IDTF avendo come sequenza ${X-n} $ ma non mi torna nulla, qualcuno mi puo dire come applicare questa dannata formula? Grazie per l'aiuto
Calcolare la DTF della sequenza numerica:
$ {X_n}={1,2,0.5,-0.5} $
Io ho queste formule:
DTF $ X_k = 1/N sum_(N-1)^(n) X_n e^(-j2pink/N) $
IDTF $ X_n = 1/N sum_(N-1)^(k=0) X_k e^(j2pink/N) $
Devo usarela IDTF avendo come sequenza ${X-n} $ ma non mi torna nulla, qualcuno mi puo dire come applicare questa dannata formula? Grazie per l'aiuto
Risposte
Allora, ti viene dato $\{x_n\} = {1, 2, 0.5, -0.5}$ ovvero $x_0 = 1, x_1 = 2, x_2=0.5 x_3 = -0.5$, con $N = 4$.
La DFT è definita come $X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n k/N}$, con $k \in [0, N - 1]$, quindi devi calcolare:
$X_0 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 0/N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{0}= x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = 3$
$X_1 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 1 /N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{-j \pi / 2n} = x_0 + x_1 e^{-j \pi/2} + x_2 e^{-j\pi} + x_3 e^{-j 3/2\pi } = x_0 -j x_1 - x_2 +jx_3 = 0.5 - j 2.5$
$X_2 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 2 /N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{-j \pi n} = x_0 + x_1 e^{-j \pi} + x_2 e^{-j2\pi} + x_3 e^{-j 3 \pi } = x_0 - x_1 + x_2 - x_3 = 0$
$X_3 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 3 /N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{-j 3/2 \pi n} = x_0 + x_1 e^{-j 3/2 \pi} + x_2 e^{-j 3 \pi} + x_3 e^{-j 9/2 \pi} = x_0 + j x_1 - x_ 2 - jx_3 = 0.5 + j 2.5$
Si può anche impostare un sistema lineare $X = W_N x$, dove $X$ è il vettore dei coefficienti della DFT, $x$ è il vettore della sequenza iniziale e $W_N$ è la matrice di Vandermonde associata alla DFT di ordine N: detta $\omega_N = e^{-j 2\pi /N}$ si ha che
$W_N = {\omega_N^{k \cdot n}}= [(\omega_N^{0\cdot 0}, \omega_N^{0\cdot 1}, \omega_N^{0\cdot 2}, ...., \omega_N^{0\cdot (N-1)}), (\omega_N^{1\cdot 0}, \omega_N^{1\cdot 1}, \omega_N^{1\cdot 2}, ...., \omega_N^{1\cdot (N-1)}), (..., ..., ..., ....,....),(\omega_N^{(N-1)\cdot 0}, \omega_N^{(N-1)\cdot 1}, \omega_N^{(N-1)\cdot 2}, ...., \omega_N^{(N-1)\cdot (N-1)})]$
In questo caso si ha $W_4$, con $\omega_4 = e^{-j\pi/2} =-j$, quindi $W_4 = ((1,1,1,1),(1, -j, -1, j),(1,-1,1,-1),(1,j,-1,-j))$ da cui $X = ((1,1,1,1),(1, -j, -1, j),(1,-1,1,-1),(1,j,-1,-j)) ((1),(2),(0.5),(-0.5)) = ((1+2+0.5-0.5),(1-2j-0.5-0.5j),(1-2+0.5+0.5),(1+2j-0.5+0.5j))$
La IDFT è definita come $x_n = 1/N\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\pi n k/N}$, anche questa si può scrivere in modo matriciale e si ha che la matrice è $1/N W_N^\star$.
La DFT è definita come $X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n k/N}$, con $k \in [0, N - 1]$, quindi devi calcolare:
$X_0 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 0/N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{0}= x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = 3$
$X_1 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 1 /N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{-j \pi / 2n} = x_0 + x_1 e^{-j \pi/2} + x_2 e^{-j\pi} + x_3 e^{-j 3/2\pi } = x_0 -j x_1 - x_2 +jx_3 = 0.5 - j 2.5$
$X_2 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 2 /N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{-j \pi n} = x_0 + x_1 e^{-j \pi} + x_2 e^{-j2\pi} + x_3 e^{-j 3 \pi } = x_0 - x_1 + x_2 - x_3 = 0$
$X_3 = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-j2\pi n 3 /N} = \sum_{n=0}^3 x_n e^{-j 3/2 \pi n} = x_0 + x_1 e^{-j 3/2 \pi} + x_2 e^{-j 3 \pi} + x_3 e^{-j 9/2 \pi} = x_0 + j x_1 - x_ 2 - jx_3 = 0.5 + j 2.5$
Si può anche impostare un sistema lineare $X = W_N x$, dove $X$ è il vettore dei coefficienti della DFT, $x$ è il vettore della sequenza iniziale e $W_N$ è la matrice di Vandermonde associata alla DFT di ordine N: detta $\omega_N = e^{-j 2\pi /N}$ si ha che
$W_N = {\omega_N^{k \cdot n}}= [(\omega_N^{0\cdot 0}, \omega_N^{0\cdot 1}, \omega_N^{0\cdot 2}, ...., \omega_N^{0\cdot (N-1)}), (\omega_N^{1\cdot 0}, \omega_N^{1\cdot 1}, \omega_N^{1\cdot 2}, ...., \omega_N^{1\cdot (N-1)}), (..., ..., ..., ....,....),(\omega_N^{(N-1)\cdot 0}, \omega_N^{(N-1)\cdot 1}, \omega_N^{(N-1)\cdot 2}, ...., \omega_N^{(N-1)\cdot (N-1)})]$
In questo caso si ha $W_4$, con $\omega_4 = e^{-j\pi/2} =-j$, quindi $W_4 = ((1,1,1,1),(1, -j, -1, j),(1,-1,1,-1),(1,j,-1,-j))$ da cui $X = ((1,1,1,1),(1, -j, -1, j),(1,-1,1,-1),(1,j,-1,-j)) ((1),(2),(0.5),(-0.5)) = ((1+2+0.5-0.5),(1-2j-0.5-0.5j),(1-2+0.5+0.5),(1+2j-0.5+0.5j))$
La IDFT è definita come $x_n = 1/N\sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{j2\pi n k/N}$, anche questa si può scrivere in modo matriciale e si ha che la matrice è $1/N W_N^\star$.
Grazie 1000 mi hai salvato la vita per l'orale di MARTEDI' 
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