Calcolo superficie massima
un giardiniere vuole recintare su tre lati un orto rettangolare rettangolo si superficie S. se 1 indica la lunghezza totale della rete, quale può essere la superficie massima recintabile?
[1/4]
[1/8]
[1/16]
[1/9]
salve ragazzi ho bisogno del vostro aiuto per svolgere questo esercizio.
da dove devo partire, che ragionamento devo fare, come procedo?
leggendo il testo mi fa pensare che debba utilizzare qualche integrale però non so ne come e ne quando utilizzarli.
Grazie a tutti!
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salve ragazzi ho bisogno del vostro aiuto per svolgere questo esercizio.
da dove devo partire, che ragionamento devo fare, come procedo?
leggendo il testo mi fa pensare che debba utilizzare qualche integrale però non so ne come e ne quando utilizzarli.
Grazie a tutti!
Risposte
Hai un rettangolo.
Come si calcola l'area?
Come si calcola il perimetro?
Quale delle due quantità è fissa?
Quale vuoi massimizzare?
Queste domande dovrebbero aiutarti a scrivere una formulazione analitica del problema.
Scritta quella, vediamo che fare.
Come si calcola l'area?
Come si calcola il perimetro?
Quale delle due quantità è fissa?
Quale vuoi massimizzare?
Queste domande dovrebbero aiutarti a scrivere una formulazione analitica del problema.
Scritta quella, vediamo che fare.
ciao gugo82,
allora:
1)area del rettangolo bx h
2)p=2a+2b
3)i tre lati fissi
4)la superficie
sei d'accordo?
grazie,
allora:
1)area del rettangolo bx h
2)p=2a+2b
3)i tre lati fissi
4)la superficie
sei d'accordo?
grazie,
Ciao cri98,
Facciamo del rettangolo va...
"cri98":
1)area del triangolo bx h
Facciamo del rettangolo va...
si ho sbagliato scusate 
"cri98":
1)area del rettangolo $b*h$
2)$p=2a+2b$
Ah, bene... E cosa sono $b$, $h$, $p$ ed $a$?
"cri98":
3)i tre lati fissi
Quali?
"cri98":
4)la superficie
Superficie?
E cos'è? Quella che prima hai chiamato area?
b= base
h= altezza
a= lato di un rettangolo (altezza)
b=lato di un rettangolo(base)
per tre lati fissi posso prendere un altezza e i due lati laterali.
per superficie pensavo quella recintabile dal giardiniere.
grazie,
rimango in attesa
h= altezza
a= lato di un rettangolo (altezza)
b=lato di un rettangolo(base)
per tre lati fissi posso prendere un altezza e i due lati laterali.
per superficie pensavo quella recintabile dal giardiniere.
grazie,
rimango in attesa
Quindi secondo te variabili quali sono?
non lo so, ho bisogno di un aiuto 
grazie,
grazie,
Scusa, cri98, ma comincia a scrivere le cose con un po’ di criterio...
Se nella formula dell’area hai usato come variabili $b=text(lunghezza della base)$ ed $h=text(lunghezza dell’altezza)$, perché nell’espressione del perimetro c’è una $a$? Che cos’è $a$? A che ti serve?
Detto ciò, ti consiglio quello che consiglio ogni santa volta ai miei studenti del liceo: per prima cosa, cerca di capire chi sono le incognite da determinare e che condizioni devono soddisfare affinché esse siano un risultato ammissibile; in secondo luogo, cerca di formalizzare bene i dati e le richieste del problema, esprimendoli in funzione delle incognite; infine, cerca di risolvere il tutto con tecniche a te note.
Allora:
Incognite:
...
...
Condizioni:
...
...
Dati:
...
...
Come riempiresti lo schema?
P.S.: Queste sono cose elementari che dovresti aver già chiare dalle scuole.
Se nella formula dell’area hai usato come variabili $b=text(lunghezza della base)$ ed $h=text(lunghezza dell’altezza)$, perché nell’espressione del perimetro c’è una $a$? Che cos’è $a$? A che ti serve?
Detto ciò, ti consiglio quello che consiglio ogni santa volta ai miei studenti del liceo: per prima cosa, cerca di capire chi sono le incognite da determinare e che condizioni devono soddisfare affinché esse siano un risultato ammissibile; in secondo luogo, cerca di formalizzare bene i dati e le richieste del problema, esprimendoli in funzione delle incognite; infine, cerca di risolvere il tutto con tecniche a te note.
Allora:
Incognite:
...
...
Condizioni:
...
...
Dati:
...
...
Come riempiresti lo schema?
P.S.: Queste sono cose elementari che dovresti aver già chiare dalle scuole.
Ciao cri98,
Assolutamente no, si tratta di un classico problema di massimo...
Noi sappiamo che tu sai come si trova il perimetro $p$ e la superficie $S$ di un rettangolo, però qui il testo ti dice che il giardiniere vuole recintare l'orto su tre lati e che la lunghezza del recinto è $r = 1 $, quindi si può scrivere ad esempio $1 = r = b + 2h $
Da qui, seguendo i suggerimenti che ti ha già dato gugo82, non dovresti avere difficoltà a trovare la superficie $S = S(h) $
"cri98":
leggendo il testo mi fa pensare che debba utilizzare qualche integrale [...]
Assolutamente no, si tratta di un classico problema di massimo...
Noi sappiamo che tu sai come si trova il perimetro $p$ e la superficie $S$ di un rettangolo, però qui il testo ti dice che il giardiniere vuole recintare l'orto su tre lati e che la lunghezza del recinto è $r = 1 $, quindi si può scrivere ad esempio $1 = r = b + 2h $
Da qui, seguendo i suggerimenti che ti ha già dato gugo82, non dovresti avere difficoltà a trovare la superficie $S = S(h) $
Grazie gugo82 e pilloeffe per il vostro aiuto ed i vostri consigli
dopo alcuni ragionamenti:
se $1=r=b+2h$
avrò che$ b=1/2$ mentre$ h=1/4$
visto che$ S=b x h = 1/2 x 1/4 =1/8$
questo è il modo corretto di procedere?
se il problema avrebbe richiesto di calcolare la superficie minima come avrei dovuto procedere?
Grazie
dopo alcuni ragionamenti:
se $1=r=b+2h$
avrò che$ b=1/2$ mentre$ h=1/4$
visto che$ S=b x h = 1/2 x 1/4 =1/8$
questo è il modo corretto di procedere?
se il problema avrebbe richiesto di calcolare la superficie minima come avrei dovuto procedere?
Grazie
"cri98":
questo è il modo corretto di procedere?
No.
Il modo corretto è ricavare $b = 1 - 2h $ e poi, sapendo che $S = b \cdot h $, si ottiene:
$S = S(h) = (1 - 2h)h $
Quest'ultima è una funzione di $h$ della quale dovresti riuscire facilmente a determinare il massimo...
Mi riservo di dare una risposta articolata al quesito tra un po’... Mi serve il tempo materiale di scriverla.
ciao pilloeffe,
anzitutto grazie per la risposta.
il mio dubbio è per calcolare il massimo cosa devo fare? calcolare la sua derivata?
Grazie
ciao gugo82
rimango in attesa grazie
anzitutto grazie per la risposta.
il mio dubbio è per calcolare il massimo cosa devo fare? calcolare la sua derivata?
Grazie
ciao gugo82
rimango in attesa grazie
Allora, vediamo di formalizzare il problema.
In primis, un disegno che non fa mai male:
[asvg]xmin = -5; xmax = 5; ymin= -2.5; ymax = 2.5;
noaxes();
fill= "brown"; rect([-6, -3], [6, 1]);
stroke = "dodgerblue"; strokewidth = 4; path([[-3,1],[-3,-1],[3,-1],[3,1]]);
stroke = "black"; strokewidth = 4; line([-6,1],[6,1]);
stroke = "black"; text([-3,1], "A", belowleft); text([-3,-1], "B", belowleft); text([3,-1], "C", belowright); text([3,1], "D", belowright);[/asvg]
Detto $ABCD$ il nostro rettangolo, il problema si può riassumere come segue:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) \\ \text{sotto condizioni} &\qquad AB+BC+CD = l\end{split} \right.
\]
in cui ho ipotizzato che $\overline(DA)$ sia il lato adiacente al muro ed $l>0$ è la lunghezza della recinzione che si vuole realizzare (nel caso in esame $l=1$, ma lo lascio così come parametro).
Questo modello non è ancora un modello matematico (non ci sono funzioni, non ci sono variabili, etc...), ma fornisce un’indicazione sintetica su cosa si debba fare.
Matematizziamo il tutto.
Innanzitutto, ci serve individuare le variabili su cui vogliamo lavorare. Dato che dalle scuole (elementari) è noto che l’area del rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze di due lati consecutivi, sembra conveniente scegliere $AB=h$ è $BC=b$ come variabili: infatti, visto anche che $overline(CD) cong overline(AB)$, abbiamo $CD = h$ e perciò il problema iniziale si può scrivere:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = bh \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+b = l\end{split} \right. \;.
\]
Questo modello non è ancora completo, in quanto non abbiamo specificato in quale insieme debbano “vivere” le variabili, i.e. il dominio.
Vista la natura delle variabili, che rappresentano lunghezze di lati di rettangoli non degeneri, è abbastanza naturale pensare che esse assumano solo valori positivi; ergo possiamo migliorare il modello come segue:
\[\tag{*}
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = bh \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+b = l \\ &\qquad b, h > 0 \end{split} \right.
\]
e scriverlo in forma analitica standard:
\[\tag{A}
\sup \Big\{ bh,\ \text{con } b,h > 0 \text{ e } b+2h = l\Big\}\;.
\]
Questo è un tipico problema di estremo vincolato in due variabili, in cui i vincoli “$b,h>0$” e “$b+2h=l$” individuano la regione ammissibile del problema, cioè il luogo dei punti del piano in cui il problema e la ricerca delle sue soluzioni hanno senso; la funzione $A(b,h) = bh$ di cui vogliamo trovare l’estremo è detta funzione obiettivo.
Osserviamo esplicitamente che il verbo “massimizzare” è stato tradotto con “\(\sup\)” e non con “$max$”: questo non è un vezzo, ma esprime il fatto che non è possibile “a priori” supporre che il massimo esista, poiché non è certo che la funzione obiettivo assuma nella regione ammissibile un valore più grande di tutti quelli possibili.
L’Analisi mette a disposizione tecniche standard per risolvere problemi di estremo vincolato in più variabili, ma usualmente esse vengono illustrate nei corsi di Analisi II.
Tuttavia questo problema (come tutti quelli in cui è presente un vincolo d’uguaglianza facilmente manipolabile) si può ulteriormente riscrivere come problema di estremo vincolato in una sola variabile.
Per fare ciò, osserviamo che il vincolo $b+2h=l$ fornisce un modo per esprimere, ad esempio, la variabile $b$ in funzione di $h$: infatti, “risolvendo” l’equazione del vincolo rispetto a $b$ si trova $b=l-2h$.
Conseguentemente, si può sostituire $b=l-2h$ ovunque nel problema (*) ottenendo:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = (l-2h)h \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+(l-2h) = l \\ &\qquad l-2h, h > 0 \end{split} \right.
\]
in cui osserviamo la presenza di un vincolo “inutile” $2h+(l-2h)=l$, che può essere eliminato senza pregiudicare la validità del modello, e di un vincolo $l-2h>0$ che può essere esplicitato rispetto alla variabile $h$; in tal modo otteniamo:
\[\tag{**}
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = (l-2h)h \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 0 < h < \frac{l}{2} \end{split} \right.
\]
che possiamo scrivere in forma analitica standard:
\[\tag{B}
\sup \left\{ lh - 2h^2 ,\ \text{con } 0 < h < \frac{l}{2} \right\}\;.
\]
Il problema (B) è un classico problema di estremo vincolato per una funzione di una variabile reale e chiede di determinare l’estremo superiore della funzione obiettivo $A(h) = lh - 2 h^2$ nell’intervallo aperto $]0,l/2[$.
Questo problema si risolve coi classici metodi del Calcolo Differenziale (studio del segno della derivata prima) o con strumenti meno sofisticati[nota]Dalla Geometria Analitica è noto che una funzione quadratica con parametro direttore negativo rappresenta una parabola concava, dunque assume massimo assoluto nell’ascissa del vertice della parabola, la quale è nel punto medio delle eventuali intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse[/nota]: quindi il valore di $h$ in cui $A(h)$ prende massimo in $]0,l/2[$ è $h^** = l/4$ ed il massimo della funzione obiettivo è dato da $A^** = A(h^**) = l^2/8$.
Quella ottenuta è la soluzione di (B) ma non quella di (A); per ottenere la soluzione di (A) basta determinare il valore ottimale $b^**$ corrispondente al valore ottimale $h^**$, che è $b^** = l/2$.
Infine, possiamo affermare che esiste un unico rettangolo con le caratteristiche assegnate che consente, con una recinzione di lunghezza $l$ su tre lati, di racchiudere la massima area possibile: esso è quello con lato $overline(BC)$ di lunghezza $b^** = l/2$ e lati $overline(AB) cong overline(CD)$ di lunghezza $h^** = l/4$.
L’area racchiusa è $A^** = l^2/8$.
Lascio a te fare considerazioni circa il problema di minimo.
Come lo esprimeresti in forma Matematica?
Come lo risolveresti?
La soluzione esiste?
In primis, un disegno che non fa mai male:
[asvg]xmin = -5; xmax = 5; ymin= -2.5; ymax = 2.5;
noaxes();
fill= "brown"; rect([-6, -3], [6, 1]);
stroke = "dodgerblue"; strokewidth = 4; path([[-3,1],[-3,-1],[3,-1],[3,1]]);
stroke = "black"; strokewidth = 4; line([-6,1],[6,1]);
stroke = "black"; text([-3,1], "A", belowleft); text([-3,-1], "B", belowleft); text([3,-1], "C", belowright); text([3,1], "D", belowright);[/asvg]
Detto $ABCD$ il nostro rettangolo, il problema si può riassumere come segue:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) \\ \text{sotto condizioni} &\qquad AB+BC+CD = l\end{split} \right.
\]
in cui ho ipotizzato che $\overline(DA)$ sia il lato adiacente al muro ed $l>0$ è la lunghezza della recinzione che si vuole realizzare (nel caso in esame $l=1$, ma lo lascio così come parametro).
Questo modello non è ancora un modello matematico (non ci sono funzioni, non ci sono variabili, etc...), ma fornisce un’indicazione sintetica su cosa si debba fare.
Matematizziamo il tutto.
Innanzitutto, ci serve individuare le variabili su cui vogliamo lavorare. Dato che dalle scuole (elementari) è noto che l’area del rettangolo si esprime come prodotto delle lunghezze di due lati consecutivi, sembra conveniente scegliere $AB=h$ è $BC=b$ come variabili: infatti, visto anche che $overline(CD) cong overline(AB)$, abbiamo $CD = h$ e perciò il problema iniziale si può scrivere:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = bh \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+b = l\end{split} \right. \;.
\]
Questo modello non è ancora completo, in quanto non abbiamo specificato in quale insieme debbano “vivere” le variabili, i.e. il dominio.
Vista la natura delle variabili, che rappresentano lunghezze di lati di rettangoli non degeneri, è abbastanza naturale pensare che esse assumano solo valori positivi; ergo possiamo migliorare il modello come segue:
\[\tag{*}
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = bh \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+b = l \\ &\qquad b, h > 0 \end{split} \right.
\]
e scriverlo in forma analitica standard:
\[\tag{A}
\sup \Big\{ bh,\ \text{con } b,h > 0 \text{ e } b+2h = l\Big\}\;.
\]
Questo è un tipico problema di estremo vincolato in due variabili, in cui i vincoli “$b,h>0$” e “$b+2h=l$” individuano la regione ammissibile del problema, cioè il luogo dei punti del piano in cui il problema e la ricerca delle sue soluzioni hanno senso; la funzione $A(b,h) = bh$ di cui vogliamo trovare l’estremo è detta funzione obiettivo.
Osserviamo esplicitamente che il verbo “massimizzare” è stato tradotto con “\(\sup\)” e non con “$max$”: questo non è un vezzo, ma esprime il fatto che non è possibile “a priori” supporre che il massimo esista, poiché non è certo che la funzione obiettivo assuma nella regione ammissibile un valore più grande di tutti quelli possibili.
L’Analisi mette a disposizione tecniche standard per risolvere problemi di estremo vincolato in più variabili, ma usualmente esse vengono illustrate nei corsi di Analisi II.
Tuttavia questo problema (come tutti quelli in cui è presente un vincolo d’uguaglianza facilmente manipolabile) si può ulteriormente riscrivere come problema di estremo vincolato in una sola variabile.
Per fare ciò, osserviamo che il vincolo $b+2h=l$ fornisce un modo per esprimere, ad esempio, la variabile $b$ in funzione di $h$: infatti, “risolvendo” l’equazione del vincolo rispetto a $b$ si trova $b=l-2h$.
Conseguentemente, si può sostituire $b=l-2h$ ovunque nel problema (*) ottenendo:
\[
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = (l-2h)h \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 2h+(l-2h) = l \\ &\qquad l-2h, h > 0 \end{split} \right.
\]
in cui osserviamo la presenza di un vincolo “inutile” $2h+(l-2h)=l$, che può essere eliminato senza pregiudicare la validità del modello, e di un vincolo $l-2h>0$ che può essere esplicitato rispetto alla variabile $h$; in tal modo otteniamo:
\[\tag{**}
\left\{ \begin{split} \text{massimizzare} &\qquad \operatorname{area} (ABCD) = (l-2h)h \\ \text{sotto condizioni} &\qquad 0 < h < \frac{l}{2} \end{split} \right.
\]
che possiamo scrivere in forma analitica standard:
\[\tag{B}
\sup \left\{ lh - 2h^2 ,\ \text{con } 0 < h < \frac{l}{2} \right\}\;.
\]
Il problema (B) è un classico problema di estremo vincolato per una funzione di una variabile reale e chiede di determinare l’estremo superiore della funzione obiettivo $A(h) = lh - 2 h^2$ nell’intervallo aperto $]0,l/2[$.
Questo problema si risolve coi classici metodi del Calcolo Differenziale (studio del segno della derivata prima) o con strumenti meno sofisticati[nota]Dalla Geometria Analitica è noto che una funzione quadratica con parametro direttore negativo rappresenta una parabola concava, dunque assume massimo assoluto nell’ascissa del vertice della parabola, la quale è nel punto medio delle eventuali intersezioni della parabola con l’asse delle ascisse[/nota]: quindi il valore di $h$ in cui $A(h)$ prende massimo in $]0,l/2[$ è $h^** = l/4$ ed il massimo della funzione obiettivo è dato da $A^** = A(h^**) = l^2/8$.
Quella ottenuta è la soluzione di (B) ma non quella di (A); per ottenere la soluzione di (A) basta determinare il valore ottimale $b^**$ corrispondente al valore ottimale $h^**$, che è $b^** = l/2$.
Infine, possiamo affermare che esiste un unico rettangolo con le caratteristiche assegnate che consente, con una recinzione di lunghezza $l$ su tre lati, di racchiudere la massima area possibile: esso è quello con lato $overline(BC)$ di lunghezza $b^** = l/2$ e lati $overline(AB) cong overline(CD)$ di lunghezza $h^** = l/4$.
L’area racchiusa è $A^** = l^2/8$.
Lascio a te fare considerazioni circa il problema di minimo.
Come lo esprimeresti in forma Matematica?
Come lo risolveresti?
La soluzione esiste?
ciao gugo82,
Grazie per la risposta precisa e spiegata nei minimi dettagli, per adesso mi sembra tutto chiaro.
per risolvere lo stesso problema riguardo la superficie minima farò qualche ragionamento in merito e ti farò sapere.
Grazie mille
Grazie per la risposta precisa e spiegata nei minimi dettagli, per adesso mi sembra tutto chiaro.
per risolvere lo stesso problema riguardo la superficie minima farò qualche ragionamento in merito e ti farò sapere.
Grazie mille
[ot]Una volta bastava non finire le elementari per fare il giardiniere[/ot]
"cri98":
ciao pilloeffe, anzitutto grazie per la risposta.
Prego!
"cri98":
il mio dubbio è per calcolare il massimo cosa devo fare? calcolare la sua derivata?
Beh, a questa domanda credo ti abbia già risposto esaurientemente gugo82: ti consiglio caldamente di rileggere con molta attenzione ciò che ha scritto, che fra l'altro non ho mai visto scritto così chiaramente in alcun libro di testo, perché può senz'altro essere considerato un punto di riferimento non solo per il problema specifico, ma per ogni altro problema del genere.
"gugo82":
Questo problema si risolve coi classici metodi del Calcolo Differenziale (studio del segno della derivata prima) o con strumenti meno sofisticati
Fra gli strumenti meno sofisticati citati da gugo82 nel caso specifico mi permetto di segnalare la disuguaglianza $AM >= GM $:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 >= 0 $
$a - 2\sqrt{ab} + b >= 0 $
$a + b >= 2\sqrt{ab} $
$\frac{a + b}{2} >= sqrt{ab} \implies ab <= (\frac{a + b}{2})^2$
ove $a $ e $b $ sono positivi o nulli ed il segno di uguaglianza vale se e solo se $a = b $.
Nel caso specifico, massimizzare $S(h) = h(1 - 2h) $ equivale a massimizzare $z = 2S(h) = 2h(1 - 2h) $:
$ 2h(1 - 2h) <= (\frac{2h + 1 - 2h}{2})^2 $
$ 2h(1 - 2h) <= (\frac{1}{2})^2 $
$ 2h(1 - 2h) <= \frac{1}{4} $
e $ 2h(1 - 2h) = \frac{1}{4} \iff 2h = 1 - 2h \implies h = 1/4 \implies S(h) = 1/8 $
grazie pilloeffe!
siete stati esaurienti
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