Calcolo Sup serie di potenze
Ciao ragazzi , ho la seguente serie di potenze , di cui mi si chiede di studiare la convergenza totale:
\( \sum {} \) $(x^(n+1))/((n+1)2^(n+1))$.
Per la convergenza totale , si richiede di applicare la seguente formula di un teorema :
\( \sum {} \) $Sup |f_n(x)|<+$ \( \infty \), in modo tale che poi la serie diventi :
\( \sum {} \) $1/(n+1)$, che per il teorema del confronto diverge . L'unico passaggio che non mi è chiaro, è come viene calcolato il Sup , e quindi come si arrivi a \( \sum {} \) $1/(n+1)$, qualcuno potrebbe spiegarmi?
\( \sum {} \) $(x^(n+1))/((n+1)2^(n+1))$.
Per la convergenza totale , si richiede di applicare la seguente formula di un teorema :
\( \sum {} \) $Sup |f_n(x)|<+$ \( \infty \), in modo tale che poi la serie diventi :
\( \sum {} \) $1/(n+1)$, che per il teorema del confronto diverge . L'unico passaggio che non mi è chiaro, è come viene calcolato il Sup , e quindi come si arrivi a \( \sum {} \) $1/(n+1)$, qualcuno potrebbe spiegarmi?
Risposte
Ciao Biagio2580,
Veramente la serie proposta converge, dato che si ha:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} (x^(n+1))/((n+1)2^(n+1)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (x/2)^(n+1)/((n+1)) = - ln(1 - x/2) $
per $ - 2 \le x < 2 $
Veramente la serie proposta converge, dato che si ha:
$\sum_{n = 0}^{+\infty} (x^(n+1))/((n+1)2^(n+1)) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (x/2)^(n+1)/((n+1)) = - ln(1 - x/2) $
per $ - 2 \le x < 2 $
Io ho riportato quello che c'è scritto in un vecchio compito d'esame , in questo caso viene richiesta la Convergenza Totale verificando quello che ho riportato(è un teorema che abbiamo fatto sulla convergenza totale) , volevo appunto capire come si calcola il Sup di questa serie, in modo da arrivare a quella che per il teorema del confronto diverge (in quanto ha lo stesso comportamento della serie armonica), quindi ecco , vorrei capire soprattutto come calcolare il Sup ?
O meglio , oltre a fare la derivata , c'è un altro metodo più veloce?
Per $n \in \mathbb{N}$ fissato, si ha che:
(i) se $n+1$ è dispari, $t^{n+1}$ è crescente per ogni $t\in\mathbb{R}$;
(ii) se $n+1$ è pari, $t^{n+1}$ è crescente per ogni $t \ge 0$ decrescente per ogni $t<0$.
Per ogni $x\in\mathbb{R}$, $|x|$ è decrescente sui negativi e crescente sui non negativi. Quindi, la composizione $|x|^{n+1}$ è decrescente sui negativi e crescente sui non negativi. Perciò, l'estremo superiore è il massimo tra il valore in $x=-2$ e il limite per $x \to 2^{-}$. Potevi evitare la distinzione dei casi osservando che $|x|^{n+1}$ è pari e continua in $x=2$, ma se non te ne accorgi va bene uguale distinguere i casi. Moltiplicare poi per $\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}$ non influenza la monotonia in $x$ perché è una successione positiva per ogni $n\in\mathbb{N}$.
In generale, se vuoi evitare di usare il calcolo differenziale ti conviene dimostrare dei semplici lemmi di monotonia (che si dimostrano velocemente senza derivate). Ad esempio, ho usato un lemma che assicura il seguente fatto (chiaramente, vale dove le composizioni sono definite): "Composizione di funzioni crescenti è crescente, composizione di funzioni decrescenti è crescente, composizione di una funzione crescente con una decrescente è decrescente (e viceversa)."
Valgono risultati simili con la somma e il prodotto/rapporto (per questi ultimi due casi devi aggiungere ipotesi sul segno delle funzioni).
(i) se $n+1$ è dispari, $t^{n+1}$ è crescente per ogni $t\in\mathbb{R}$;
(ii) se $n+1$ è pari, $t^{n+1}$ è crescente per ogni $t \ge 0$ decrescente per ogni $t<0$.
Per ogni $x\in\mathbb{R}$, $|x|$ è decrescente sui negativi e crescente sui non negativi. Quindi, la composizione $|x|^{n+1}$ è decrescente sui negativi e crescente sui non negativi. Perciò, l'estremo superiore è il massimo tra il valore in $x=-2$ e il limite per $x \to 2^{-}$. Potevi evitare la distinzione dei casi osservando che $|x|^{n+1}$ è pari e continua in $x=2$, ma se non te ne accorgi va bene uguale distinguere i casi. Moltiplicare poi per $\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}$ non influenza la monotonia in $x$ perché è una successione positiva per ogni $n\in\mathbb{N}$.
In generale, se vuoi evitare di usare il calcolo differenziale ti conviene dimostrare dei semplici lemmi di monotonia (che si dimostrano velocemente senza derivate). Ad esempio, ho usato un lemma che assicura il seguente fatto (chiaramente, vale dove le composizioni sono definite): "Composizione di funzioni crescenti è crescente, composizione di funzioni decrescenti è crescente, composizione di una funzione crescente con una decrescente è decrescente (e viceversa)."
Valgono risultati simili con la somma e il prodotto/rapporto (per questi ultimi due casi devi aggiungere ipotesi sul segno delle funzioni).
@Biagio2580
Rileggendo con maggiore attenzione il tuo OP credo di aver capito qual è il tuo problema: la serie di potenze proposta ha raggio di convergenza $\rho = 2$ e se calcoli $\text{sup}|f_n(x)|$ (in $x = - 2$ o in $x = 2 $ è uguale, come ti ha già spiegato Mephlip, visto che hai $|x/2|$... ), ottieni proprio la serie $\sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n + 1) $ che è la ben nota serie armonica positivamente divergente, ma questo significa solo che la serie di potenze proposta NON converge totalmente in tutto $(- 2, 2) $, tuttavia converge totalmente in ogni intervallo limitato $ \subset (- 2, 2) $.
Visto poi che la serie di potenze proposta converge anche nell'estremo $x = − 2$ (per Leibniz), il teorema di Abel garantisce che la convergenza è uniforme non solo negli intervalli $[a,b] \subset (−2, 2) $, ma anche in quelli del tipo $[−2, b]$ con $ b < 2 $
Rileggendo con maggiore attenzione il tuo OP credo di aver capito qual è il tuo problema: la serie di potenze proposta ha raggio di convergenza $\rho = 2$ e se calcoli $\text{sup}|f_n(x)|$ (in $x = - 2$ o in $x = 2 $ è uguale, come ti ha già spiegato Mephlip, visto che hai $|x/2|$... ), ottieni proprio la serie $\sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n + 1) $ che è la ben nota serie armonica positivamente divergente, ma questo significa solo che la serie di potenze proposta NON converge totalmente in tutto $(- 2, 2) $, tuttavia converge totalmente in ogni intervallo limitato $ \subset (- 2, 2) $.
Visto poi che la serie di potenze proposta converge anche nell'estremo $x = − 2$ (per Leibniz), il teorema di Abel garantisce che la convergenza è uniforme non solo negli intervalli $[a,b] \subset (−2, 2) $, ma anche in quelli del tipo $[−2, b]$ con $ b < 2 $
Intanto grazie a entrambi , pilloeffe si avvicina a quello che volevo dire , mi sarò espresso male io , sul fatto che quella serie che viene è la serie armonica sono d'accordo , e anche su quello che dici dopo , il mio problema appunto è calcolare il sup , ovvero ,per arrivare a quella serie , basta che sostituisco i valori estremi all'intervallo(2 e -2 per capirci ) e prendo quello più grande , o devo studiare la derivata per trovare eventuali massimi o minimi?Perchè in alcuni esercizi si studia la derivata , e in altri no , non capisco quando posso fare uno o l'altro , spero di essere stato chiaro.
Beh, è chiaro che in questo caso ed in altri analoghi non puoi farcela a calcolare il $\text{sup}|f_n(x)| $ con la derivata per poi trovare il massimo, quindi necessariamente devi fare come ti ha già suggerito Mephlip... 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo