Calcolo sup e inf
Buongiorno, ho un problema con questo esercizio:
Data la funzione:
$ f(x,y)= e^(x^2-5x+y^2) $
Trovare sup e inf ed eventuali punti di estremo globale. Ho trovato che esiste un punto di minimo locale $ (5/2,0) $. Per vedere sup e inf ho calcolato il $ lim_((x,y)->\infty) f(x,y) $ che mi risulta $ \infty $ e poi ho calcolato i due limiti $ lim_((x,y)->(0,+-\infty)) f(x,y) $ per vedere sup e inf e eventuali estremi globali. Per $ y->+-infty $ risulta rispetivamente $ infty $ e $ 0 $, quindi posso dedurre che il sup è $ infty $ e l'inf corrisponde ad un minimo assoluto?
Grazie mille in anticipo.
Data la funzione:
$ f(x,y)= e^(x^2-5x+y^2) $
Trovare sup e inf ed eventuali punti di estremo globale. Ho trovato che esiste un punto di minimo locale $ (5/2,0) $. Per vedere sup e inf ho calcolato il $ lim_((x,y)->\infty) f(x,y) $ che mi risulta $ \infty $ e poi ho calcolato i due limiti $ lim_((x,y)->(0,+-\infty)) f(x,y) $ per vedere sup e inf e eventuali estremi globali. Per $ y->+-infty $ risulta rispetivamente $ infty $ e $ 0 $, quindi posso dedurre che il sup è $ infty $ e l'inf corrisponde ad un minimo assoluto?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Guarda che ad esponente sia $x$ che $y$ si presentano alla seconda, per cui ogni volta che una di queste variabili va a $\pm\infty$ la funzione va sempre a $\pm\infty$. Oppure la funzione è un'altra?
Tra l'altro basta studiare la funzione ad esponente per capire cosa accade. Tale funzione
$$g(x,y)=x^2-5x+y^2=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+y^2-\frac{25}{4}$$
è un paraboloide con asse parallelo all'asse $z$, vertice $V(5/2,0,-25/4)$ e concavità rivolta verso l'alto. Segue, per la 'monotonia dell'espenenziale, che la funzione di partenza ha un minimo in $(5/2,0)$ che vale $e^{-25/4}$ e risulta sempre crescente allontanandosi (in direzione radiale) da tale punto. Ne segue che il sup vale $+\infty$ (e il minimo è assoluto).
Tra l'altro basta studiare la funzione ad esponente per capire cosa accade. Tale funzione
$$g(x,y)=x^2-5x+y^2=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+y^2-\frac{25}{4}$$
è un paraboloide con asse parallelo all'asse $z$, vertice $V(5/2,0,-25/4)$ e concavità rivolta verso l'alto. Segue, per la 'monotonia dell'espenenziale, che la funzione di partenza ha un minimo in $(5/2,0)$ che vale $e^{-25/4}$ e risulta sempre crescente allontanandosi (in direzione radiale) da tale punto. Ne segue che il sup vale $+\infty$ (e il minimo è assoluto).
Il sup è necessariamente $+infty$ visto che la restrizione a qualsiasi retta diverge.
@ciampax
Sono lento
@ciampax
Sono lento
Grazie ad entrambi. In generale, per guardare se un minimo (massimo) di una funzione di più variabili è assoluto, come faccio?
Devi andare a vedere la convessità della funzione.
E come faccio?
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