Calcolo sommatoria
Ciao, non so da che parte iniziare per calcolare la seguente sommatoria:
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}$, sapendo che $\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}$
Se riscrivessi la sommatoria, mi verrebbe:
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1}$
Il primo termine è l'inverso della somma di $n$ interi, di cui ricordo (ma non so dimostrare) la formula:
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\frac{2}{n(n+1)}$
Il secondo termine, quindi, sarà:
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\frac{2}{n(n+2)}$
Svolgendo i calcoli, il mio risultato non corrisponde alla soluzione...
Soluzione: $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$
Grazie in anticipo per eventuali aiuti!
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}$, sapendo che $\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}$
Se riscrivessi la sommatoria, mi verrebbe:
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1}$
Il primo termine è l'inverso della somma di $n$ interi, di cui ricordo (ma non so dimostrare) la formula:
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\frac{2}{n(n+1)}$
Il secondo termine, quindi, sarà:
$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}=\frac{2}{n(n+2)}$
Svolgendo i calcoli, il mio risultato non corrisponde alla soluzione...
Soluzione: $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$
Grazie in anticipo per eventuali aiuti!
Risposte
È una telescopica, l'hai pure scritto "sapendo che ..."
Ciao Antinomio,
Benvenuto sul forum!
Quella proposta è la ben nota somma di Mengoli, che è telescopica; se provi a scrivere esplicitamente i termini ti accorgerai che tutti i termini intermedi si elidono e "sopravvivono'' solo il primo e l'ultimo termine, perciò si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{n \cdot (n + 1)} = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i(i + 1)} = \sum_{i=1}^{n}\bigg(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\bigg) = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}}
\end{equation*}
Benvenuto sul forum!
Quella proposta è la ben nota somma di Mengoli, che è telescopica; se provi a scrivere esplicitamente i termini ti accorgerai che tutti i termini intermedi si elidono e "sopravvivono'' solo il primo e l'ultimo termine, perciò si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \dfrac{1}{n \cdot (n + 1)} = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i(i + 1)} = \sum_{i=1}^{n}\bigg(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\bigg) = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}}
\end{equation*}
Non conoscevo le serie telescopiche, né sono descritte sul mio libro di matematica. Probabilmente presumeva ci arrivassi da solo. 
Dunque, quando mi capiterà una sommatoria del genere, dovrò calcolare i primi termini e vedere che alcuni termini si annullano.
Grazie ad entrambi! Buone Feste
Dunque, quando mi capiterà una sommatoria del genere, dovrò calcolare i primi termini e vedere che alcuni termini si annullano.
Grazie ad entrambi! Buone Feste
"Antinomio":
Non conoscevo le serie telescopiche, né sono descritte sul mio libro di matematica.
Mi sorge spontanea una domanda: che caspita di libro di matematica hai? Buttalo via...
"Antinomio":
Grazie ad entrambi!
Prego!
"Antinomio":
Buone Feste
Buon Natale e Buone Feste anche a te e famiglia!
"pilloeffe":
[quote="Antinomio"]Non conoscevo le serie telescopiche, né sono descritte sul mio libro di matematica.
Mi sorge spontanea una domanda: che caspita di libro di matematica hai? Buttalo via...[/quote]
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