Calcolo somma serie di potenze.
Salve a tutti, spero che questo topic non sia destinato a non ricevere risposta. Il dubbio è enorme e ho un appello fra 8 giorni.
Il problema sta in un parte di alcuni esercizi: calcolo somma della serie di potenze.
L'esempio che tratterò è un esercizio guidato risolto dalla mia prof. Non capisco i suoi passaggi, ergo, vi pregherei di risolvere questo esercizio insieme. Allora:
$ sum_(n = 1) n^(2)/ (n+1) x^(n) $
Insieme di convergenza. $A=(-1,1)$
Allora, devo calcolare la somma, quindi scrivo:
$ f(x) = sum_(n = 1) n^(2)/ (n+1) x^(n) $
$g(x)+z(x)+w(x) = sum_(n = 1) n x^(n) - sum_(n = 1) x^(n) + sum_(n = 1) 1/ (n+1) x^(n)$
La prima funzione che esamino è :
$g(x)= sum_(n = 1) n x^(n)$ Devo ricondurre la serie di potenze, per le x comprese nell'intervallo di convergenza, ad una serie nota. Mi accorgo:
$g(x)= x sum_(n = 1) n x^(n-1) = x m(x)$
Non sò proprio come procedere ç_ç
Aiuto ^^
Il problema sta in un parte di alcuni esercizi: calcolo somma della serie di potenze.
L'esempio che tratterò è un esercizio guidato risolto dalla mia prof. Non capisco i suoi passaggi, ergo, vi pregherei di risolvere questo esercizio insieme. Allora:
$ sum_(n = 1) n^(2)/ (n+1) x^(n) $
Insieme di convergenza. $A=(-1,1)$
Allora, devo calcolare la somma, quindi scrivo:
$ f(x) = sum_(n = 1) n^(2)/ (n+1) x^(n) $
$g(x)+z(x)+w(x) = sum_(n = 1) n x^(n) - sum_(n = 1) x^(n) + sum_(n = 1) 1/ (n+1) x^(n)$
La prima funzione che esamino è :
$g(x)= sum_(n = 1) n x^(n)$ Devo ricondurre la serie di potenze, per le x comprese nell'intervallo di convergenza, ad una serie nota. Mi accorgo:
$g(x)= x sum_(n = 1) n x^(n-1) = x m(x)$
Non sò proprio come procedere ç_ç
Aiuto ^^
Risposte
[tex]$g(x)=\sum_{n=1} n x^n = x \sum_{n=1} n x^{n-1} = x m(x)[/tex]
Bisogna ora determinare la $m(x)$, in che modo? Sapendo che $\sum_{n=1}x^n = \frac{1}{1-x}-1$, deriviamo quest'ultima espressione membro a membro rispetto ad $x$.
$\frac{d}{d x}(\sum_{n=1}x^n) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x}-1)\implies$ (teorema di derivazione per le serie di potenze, rivedilo
)
$\sum_{n=1} \frac{d}{dx} x^n = \frac{1}{(x-1)^2}\implies$
$m(x)=\sum_{n=1}n x^{n-1} =\frac{1}{(x-1)^2}$, questa uguaglianza vale per ogni x nell'intervallo di convergenza $(-1, 1)$.
$z(x)= -\sum_{n=1} x^n $ è immediata.
$w(x)= \sum_{n=1}\frac{x^n}{n+1}=\frac{1}{x} \sum _{n=1}\frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x} k(x)$
dove con $k(x)= \sum_{n=1}\frac{x^{n+1}}{n+1}$
Ricorda ora che
$\sum_{n=1} x^n = \frac{1}{1-x}-1$, integra membro a membro rispetto ad x
$\int (\sum_{n=1} x^n) dx = \int \frac{1}{1-x}-1 dx$ (teorema di integrazione per le serie di potenze)
$\sum_{n=1}\int x^n dx = -log(1-x)-x$
$k(x)=\sum_{n=1} \frac{x^{n+1}}{n+1} = -log(1-x)-x$ per ogni x in (-1, 1)
Rimetti insieme i pezzi e ricontrolla i conti
Bisogna ora determinare la $m(x)$, in che modo? Sapendo che $\sum_{n=1}x^n = \frac{1}{1-x}-1$, deriviamo quest'ultima espressione membro a membro rispetto ad $x$.
$\frac{d}{d x}(\sum_{n=1}x^n) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x}-1)\implies$ (teorema di derivazione per le serie di potenze, rivedilo
)$\sum_{n=1} \frac{d}{dx} x^n = \frac{1}{(x-1)^2}\implies$
$m(x)=\sum_{n=1}n x^{n-1} =\frac{1}{(x-1)^2}$, questa uguaglianza vale per ogni x nell'intervallo di convergenza $(-1, 1)$.
$z(x)= -\sum_{n=1} x^n $ è immediata.
$w(x)= \sum_{n=1}\frac{x^n}{n+1}=\frac{1}{x} \sum _{n=1}\frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x} k(x)$
dove con $k(x)= \sum_{n=1}\frac{x^{n+1}}{n+1}$
Ricorda ora che
$\sum_{n=1} x^n = \frac{1}{1-x}-1$, integra membro a membro rispetto ad x
$\int (\sum_{n=1} x^n) dx = \int \frac{1}{1-x}-1 dx$ (teorema di integrazione per le serie di potenze)
$\sum_{n=1}\int x^n dx = -log(1-x)-x$
$k(x)=\sum_{n=1} \frac{x^{n+1}}{n+1} = -log(1-x)-x$ per ogni x in (-1, 1)
Rimetti insieme i pezzi e ricontrolla i conti
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