Calcolo somma della serie.
Ciao a tutti. Allora, a lezione il prof ha dato il seguente teorema (con tanto di dimostrazione):
La serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n \) è convergente se e solo se \(\displaystyle a(x) \) (con \(\displaystyle a_n = a(x) \) se \(\displaystyle n - 1 \le \ x < \ n \) è integrabile in senso generalizzato su \(\displaystyle [0,+\infty[ \). Inoltre si ha \(\displaystyle S = \sum_{n=1}^\infty a_n = \int_{0}^{\infty} a(x) dx \).
Detto questo ho trovato un esercizio dove si chiede di calcolare la somma della serie di \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} \). In quanto non molto pratico nel calcolo delle somme, se non per le serie telescopiche dove, da quel che ho capito, generalmente i termini si elidono, ho provato l'applicazione del teorema di cui sopra in questo modo:
\(\displaystyle a(x) = \frac{1}{2^x}, n - 1 \le \ x < \ n \)
\(\displaystyle s_n = \int_{0}^{n} \frac{1}{2^x} dx = \frac{-1}{2^nlog2} + \frac{1}{log2}\)
\(\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{2^nlog2} + \frac{1}{log2} = 0 + \frac{1}{log2} \)
Il risultato è sbagliato perchè S dovrebbe essere 2. A questo punto non riesco a capire l'errore, se interpreto male il teorema, se lo applico male o se è sbagliato il teorema stesso. Mi viene questo dubbio perchè da quel che ho letto in giro e da quello che lo stesso prof fa più avanti, (o per dimostrare la divergenza della serie armonica) l'integrale "associato" dovrebbe essere solamente una stima asintotica della somma, ma forse non ci ho ancora capito nulla.
In ogni caso, come può essere risolto diversamente l'esercizio?
Ringrazio in anticipo per le risposte.
La serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n \) è convergente se e solo se \(\displaystyle a(x) \) (con \(\displaystyle a_n = a(x) \) se \(\displaystyle n - 1 \le \ x < \ n \) è integrabile in senso generalizzato su \(\displaystyle [0,+\infty[ \). Inoltre si ha \(\displaystyle S = \sum_{n=1}^\infty a_n = \int_{0}^{\infty} a(x) dx \).
Detto questo ho trovato un esercizio dove si chiede di calcolare la somma della serie di \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} \). In quanto non molto pratico nel calcolo delle somme, se non per le serie telescopiche dove, da quel che ho capito, generalmente i termini si elidono, ho provato l'applicazione del teorema di cui sopra in questo modo:
\(\displaystyle a(x) = \frac{1}{2^x}, n - 1 \le \ x < \ n \)
\(\displaystyle s_n = \int_{0}^{n} \frac{1}{2^x} dx = \frac{-1}{2^nlog2} + \frac{1}{log2}\)
\(\displaystyle S = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{2^nlog2} + \frac{1}{log2} = 0 + \frac{1}{log2} \)
Il risultato è sbagliato perchè S dovrebbe essere 2. A questo punto non riesco a capire l'errore, se interpreto male il teorema, se lo applico male o se è sbagliato il teorema stesso. Mi viene questo dubbio perchè da quel che ho letto in giro e da quello che lo stesso prof fa più avanti, (o per dimostrare la divergenza della serie armonica) l'integrale "associato" dovrebbe essere solamente una stima asintotica della somma, ma forse non ci ho ancora capito nulla.
In ogni caso, come può essere risolto diversamente l'esercizio?
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Risposte
Si tratta di una serie geometrica.
Si, ma questo non chiarisce molto i miei dubbi, nel senso che:
1. Non riesco a capire se il teorema sia esatto e se lo siano la mia interpretazione/applicazione.
2. Non conosco metodi per il calcolo della somma di serie geometrice, ne so solo stimare la convergenza/divergenza.
1. Non riesco a capire se il teorema sia esatto e se lo siano la mia interpretazione/applicazione.
2. Non conosco metodi per il calcolo della somma di serie geometrice, ne so solo stimare la convergenza/divergenza.
Ciao.
Di serie non ricordo molto, ma leggendo l'enunciato del teorema che esponi propendo per una tua errata interpretazione.
Infatti $a(x)=1/(2^x)$ non è uguale ad $a_n=1/(2^n)$ per ogni $n-1<=x
Detto questo, la serie geometrica è: [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }a^k[/tex], è convergente per $|a|<1$ e in tal caso è [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }a^k=\frac{1}{1-a}[/tex].
Nel tuo caso $a=1/2$, quindi ottieni: $1/(1-1/2)=2$.
Una funzione $a(x)$ che ti permetta di usare il teorema di cui sopra (se lo interpreto correttamente) mi sembra che potrebbe essere questa: $a(x)=1/(2^(\Int(x)))$, dove $\Int(x)$ è la parte intera di $x$; allora è vero che $a(x)=a_n \forall n-1<=x
[tex]\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{2^{\textrm{Int}(x)}}\textrm{d}x=\int_{0}^{1}1\textrm{d}x+\int_{1}^{2}\frac{1}{2} \textrm{d}x+\int_{2}^{3}\frac{1}{4} \textrm{d}x+...=1+1/2+1/4+...[/tex], e saresti daccapo...
Sempre che abbia bene interpretato il teorema che esponi, dato che come ti ripeto non ricordo molto sulle serie, e se ho scritto qualche amenità spero che qualcuno mi corregga. Ciao
Di serie non ricordo molto, ma leggendo l'enunciato del teorema che esponi propendo per una tua errata interpretazione.
Infatti $a(x)=1/(2^x)$ non è uguale ad $a_n=1/(2^n)$ per ogni $n-1<=x
Detto questo, la serie geometrica è: [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }a^k[/tex], è convergente per $|a|<1$ e in tal caso è [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }a^k=\frac{1}{1-a}[/tex].
Nel tuo caso $a=1/2$, quindi ottieni: $1/(1-1/2)=2$.
Una funzione $a(x)$ che ti permetta di usare il teorema di cui sopra (se lo interpreto correttamente) mi sembra che potrebbe essere questa: $a(x)=1/(2^(\Int(x)))$, dove $\Int(x)$ è la parte intera di $x$; allora è vero che $a(x)=a_n \forall n-1<=x
[tex]\int_{0}^{+\infty }\frac{1}{2^{\textrm{Int}(x)}}\textrm{d}x=\int_{0}^{1}1\textrm{d}x+\int_{1}^{2}\frac{1}{2} \textrm{d}x+\int_{2}^{3}\frac{1}{4} \textrm{d}x+...=1+1/2+1/4+...[/tex], e saresti daccapo...
Sempre che abbia bene interpretato il teorema che esponi, dato che come ti ripeto non ricordo molto sulle serie, e se ho scritto qualche amenità spero che qualcuno mi corregga. Ciao
Ciao Palliit, grazie mille della risposta.
In effetti ho provato a farmi un due calcoli semplici e qualche disegno e credo che sia errato l'enunciato, ovvero sia \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n \ge \ \int_{0}^{\infty} a(x) dx \) anzichè \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = \int_{0}^{\infty} a(x) dx \), il che non da la somma della serie.
In ogni caso, per come lo hai riscritto tu, perchè sia vero l'enunciato "originale", mi sembra corretto.
Per quel che riguarda la serie geometrica invece, devo scusarmi, ma avevo perso per strada questo:
Grazie ancora, ciao!
In effetti ho provato a farmi un due calcoli semplici e qualche disegno e credo che sia errato l'enunciato, ovvero sia \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n \ge \ \int_{0}^{\infty} a(x) dx \) anzichè \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = \int_{0}^{\infty} a(x) dx \), il che non da la somma della serie.
In ogni caso, per come lo hai riscritto tu, perchè sia vero l'enunciato "originale", mi sembra corretto.
Per quel che riguarda la serie geometrica invece, devo scusarmi, ma avevo perso per strada questo:
"Palliit":
La serie geometrica è: [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }a^k[/tex], è convergente per $|a|<1$ e in tal caso è [tex]\sum_{k=0}^{+\infty }a^k=\frac{1}{1-a}[/tex].
Grazie ancora, ciao!
"CesareCj":
Detto questo ho trovato un esercizio dove si chiede di calcolare la somma della serie di \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} \).
Il risultato è sbagliato perchè S dovrebbe essere 2.
In ogni caso, come può essere risolto diversamente l'esercizio?
Ringrazio in anticipo per le risposte.
Ciao Cesare, io dispongo di poche conoscenze e mi arrangio con quelle, volevi un altro metodo? Proviamo:
$S=1/(2^0)+1/(2^1)+1/(2^2)....=1+1/2+1/4+1/8...$
prova a disegnare una retta, scegli una unità di misura (8 quadretti), un origine e comincia a sommare materialmente i pezzi: 1(8 quadretti), +1/2 (4 quadretti), + 1/4 (2 quadretti)... immagina di procedere all'infinito, potrai mai raggiungere 2? e superare 2?
Poi proviamo anche in un altro modo (riconosci la serie geometrica e la sua ragione?) se preferisci.
Ciao giò.
Allora, il metodo dei quadretti è senz'altro molto utile per avere un'idea del comportamento della serie, avendo abbastanza tempo a disposizione, in ogni caso, non ti può dare la somma finale. Ovviamente, nel caso da me proposto, si tratta di una serie geometrica di ragione 1/2, da cui il risultato... tutto più immediato!
Allora, il metodo dei quadretti è senz'altro molto utile per avere un'idea del comportamento della serie, avendo abbastanza tempo a disposizione, in ogni caso, non ti può dare la somma finale. Ovviamente, nel caso da me proposto, si tratta di una serie geometrica di ragione 1/2, da cui il risultato... tutto più immediato!
Sta bene!
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