Calcolo serie di laurent

[lukalias]

salve, devo calcolare la serie di laurent della funzione $ f_k(z)=sin(1/z)z^(k) $. non so proprio da dove cominciare...grazie mille in anticipo

[gugo82]

Ho sbagliato l'indice delle potenze nello sviluppo del seno... Che erroraccio!
Scusa.

Ad ogni modo, la tecnica è giusta stavolta; però noto che scrivere [tex]$(-1)^{\frac{k}{2}}$[/tex] non ha molto senso in generale.
Il risultato giusto si ottiene con una manipolazione un po' meno acritica delle formule.

Infatti (ripartendo da dove ho sbagliato) è:

[tex]$z^k\sin \frac{1}{z} =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ z^{k-(2n+1)}$[/tex]

ed il residuo che interessa è il coefficiente di [tex]$z^{-1}$[/tex] in tale sviluppo: per determinare tale numero bisogna risolvere in [tex]$\mathbb{N}$[/tex] l'equazione:

[tex]$k-(2n+1)=-1$[/tex] ossia [tex]$2n=k$[/tex].

Tale equazione ha soluzione [tex]$n=\tfrac{k}{2}$[/tex] se [tex]$k$[/tex] è pari, mentre non ha soluzione se [tex]$k$[/tex] è dispari: ciò significa che il termine in [tex]$z^{-1}$[/tex] non compare nello sviluppo se [tex]$k$[/tex] è dispari.
Pertanto risulta:

[tex]$\text{Res} (f_k;0)=\begin{cases} 0 &\text{, se $k$ è dispari} \\ \frac{(-1)^{\frac{k}{2}}}{(k+1)!} &\text{, se $k$ è pari} \end{cases} $[/tex].

Ad esempio, proviamo con [tex]$k=3$[/tex]: abbiamo:

[tex]$z^3 \sin \frac{1}{z} =z^3\left( \frac{1}{z} -\frac{1}{6}\ \frac{1}{z^3} +\frac{1}{120}\ \frac{1}{z^5} -\frac{1}{5040}\ \frac{1}{z^7} +\ldots \right)$[/tex]
[tex]$=z^2-\frac{1}{6} +\frac{1}{120}\ \frac{1}{z^2} -\frac{1}{5040}\ \frac{1}{z^4} +\ldots$[/tex],

quindi [tex]$\text{Res} (f_3;0)=0$[/tex]; d'altra parte, per [tex]$k=2$[/tex]:

[tex]$z^2\sin \frac{1}{z} =z^2\left( \frac{1}{z} -\frac{1}{6}\ \frac{1}{z^3} +\frac{1}{120}\ \frac{1}{z^5} -\frac{1}{5040}\ \frac{1}{z^7} +\ldots \right)$[/tex]
[tex]$=z-\frac{1}{6}\ \frac{1}{z} +\frac{1}{120}\ \frac{1}{z^3} -\frac{1}{5040}\ \frac{1}{z^5} +\ldots$[/tex],

quindi [tex]$\text{Res}(f_2;0)=-\tfrac{1}{6}=\tfrac{(-1)^{\frac{2}{2}}}{(2+1)!}$[/tex]. Entrambi i risultati in linea con i nostri calcoli.


Domanda bonus: Determinare la somma della serie [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)!}\ \frac{1}{z^n}[/tex], da me usata erroneamente come serie di Laurent di [tex]$\sin \tfrac{1}{z}$[/tex].

[lukalias]

ci sto lavorando, provo a cercare una funzione che composta con il seno mi dia quello sviluppo. ma per ora non riesco, magari la nottata porterà consiglio

[ciampax]

Io direi che

dal momento che

[tex]$\sinh x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)!}\cdot (x^2)^n$[/tex]

allora posto $x^2=1/z$ si ottiene lo sviluppo che ha proposto Gugo. Però bisogna stare ben bene attenti perché verrebbe allora

[tex]$\sinh\frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{\sqrt{z}}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!}\cdot\frac{1}{z^n}$[/tex]

e quindi la serie proposta è lo sviluppo (almeno formalmente) di

[tex]$f(z)=\sqrt{z}\cdot\sinh\sqrt{z}$[/tex]

[gugo82]

@ciampax: Eh sì, mi par giusto... Tuttavia nel testo della Domanda bonus ho dimenticato per strada un [tex]$(-1)^n$[/tex]... L'età avanza.

[ciampax]

Bè, se c'è un $(-1)^n$ basterà cambiare $\sinh $ con $\sin$ e il gioco è fatto!