Calcolo serie
Ciao a tutti, stavolta l'esercizio in questione è:
Calcolare la somma della serie convergente $sum_{n=1}^infty 1/(m^2 - n^2)$, con $n != m$ e $m in NN - {0}$.
Ho provato a ricondurmi a una serie conosciuta ma niente, non ne vengo fuori. Il risultato dovrebbe essere $-3/(4m^2)$.
Grazie in anticipo...
Calcolare la somma della serie convergente $sum_{n=1}^infty 1/(m^2 - n^2)$, con $n != m$ e $m in NN - {0}$.
Ho provato a ricondurmi a una serie conosciuta ma niente, non ne vengo fuori. Il risultato dovrebbe essere $-3/(4m^2)$.
Grazie in anticipo...
Risposte
Ciao,
Dunque, innanzitutto cambierei il nickname: davvero, la tua autostima potrebbe risentirne...
La serie che hai richiesto ce l'ho presente, ma ci sono diverse cose che non mi tornano: il risultato e anche $ m in NN - {0} $, credo che casomai sia il contrario, $ m notin NN $. In particolare per $m < n $ si ha:
$ sum_{n=1}^infty 1/(m^2 - n^2) = - sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2} \cdot 1/(1 - (\frac{m}{n})^2) = - sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2} sum_{j=0}^infty (\frac{m}{n})^{2j} $
osservando che $ 1/(1 - (\frac{m}{n})^2) $ si può riguardare come la somma di una serie geometrica di ragione $ (\frac{m}{n})^2 $. La funzione
$ F(m) := - sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2} sum_{j=0}^infty (\frac{m}{n})^{2j} $
dipende esplicitamente da potenze positive o nulle (nel solo caso del primo termine $ j = 0 $) di $ m $, per cui tenderei ad escludere che il risultato sia quello che hai riportato, $ - \frac{3}{4m^2} $.
il calcolo della somma della serie proposta non è proprio elementare (serie di Fourier / Identità di Parseval o sviluppo in serie di Mittag-Leffler), ma se proprio ti interessa... Un cenno e quando ho un po' di tempo ti faccio sapere.
Dunque, innanzitutto cambierei il nickname: davvero, la tua autostima potrebbe risentirne...
La serie che hai richiesto ce l'ho presente, ma ci sono diverse cose che non mi tornano: il risultato e anche $ m in NN - {0} $, credo che casomai sia il contrario, $ m notin NN $. In particolare per $m < n $ si ha:
$ sum_{n=1}^infty 1/(m^2 - n^2) = - sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2} \cdot 1/(1 - (\frac{m}{n})^2) = - sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2} sum_{j=0}^infty (\frac{m}{n})^{2j} $
osservando che $ 1/(1 - (\frac{m}{n})^2) $ si può riguardare come la somma di una serie geometrica di ragione $ (\frac{m}{n})^2 $. La funzione
$ F(m) := - sum_{n=1}^infty \frac{1}{n^2} sum_{j=0}^infty (\frac{m}{n})^{2j} $
dipende esplicitamente da potenze positive o nulle (nel solo caso del primo termine $ j = 0 $) di $ m $, per cui tenderei ad escludere che il risultato sia quello che hai riportato, $ - \frac{3}{4m^2} $.
il calcolo della somma della serie proposta non è proprio elementare (serie di Fourier / Identità di Parseval o sviluppo in serie di Mittag-Leffler), ma se proprio ti interessa... Un cenno e quando ho un po' di tempo ti faccio sapere.
Ciao, grazie per la risposta. Questa dovrebbe essere la soluzione (non l'ho prodotta io 
):
$s_n = 1/(2m) sum_{k=1}^n 1/(m+k)-1/(k-m) = 1/(2m) [sum_{k=m+1}^(m+n) 1/k-1/(k-m)+sum_{k=1}^m-1 1/k - sum_{k=1}^(n-m) 1/k] = 1/2m [sum_{k=n-m+1}^(n+m) 1/k - 3/2m] rarr -3/4m^2$
):$s_n = 1/(2m) sum_{k=1}^n 1/(m+k)-1/(k-m) = 1/(2m) [sum_{k=m+1}^(m+n) 1/k-1/(k-m)+sum_{k=1}^m-1 1/k - sum_{k=1}^(n-m) 1/k] = 1/2m [sum_{k=n-m+1}^(n+m) 1/k - 3/2m] rarr -3/4m^2$
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