Calcolo residuo nei punti singolari isolati

[matriciana1]

salve dorei calcolare i residui di questa funzione nui punti singolari isolati

$ e^(z/(z-1)) $

quindi dovrei calcolare il residuo in $z=1$?
non riesco a trovarlo

[dan952]

Si tratta di una singolarità essenziale prova a sviluppare in serie di Laurent

[matriciana1]

ho provato a sviluppare in serie di laurent
e ho scritte
$e^(z/(z-1))= e * e^(1/(z-1))$
poi mi sono scritto lo sviluppo di loranne di punto iniziale $z=1$

$sum( 1/((n!)(z-1)^n)) $

concludendo
$e^(z/(z-1))=e/((n!)(z-1)^n$

ora dovendo prendere il coefficiente di $1/(z-1)$ il residuo è $e$
giusto?

[dan952]

Scusa mi sono scordato di dirti sei sicuro che la funzione sia quella e non $e^z/(z-1)$ perché quella tua non ha poli

[matriciana1]

no la funzione è proprio $e^(z/(z-1))$ e mi chiede di calcolare i residui integrali nei punti singolari isolati

[dan952]

Allora ok è come hai fatto

[matriciana1]

quindi è esatto il tisultato? potresti controllarmi i calcoli?

[dan952]

Si
Ti faccio un discorso generale per calcolare i residui dei tre tipi di singolarità
-eliminabili (residuo=0)
-polo di ordine n ($Res_{f}(z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^nf(z)]$)
-Essenziale (serie di Laurent e cerchi il coefficiente $a_{-1}$)

[gugo82]

"matriciana":ho provato a sviluppare in serie di laurent
e ho scritte
$e^(z/(z-1))= e * e^(1/(z-1))$
poi mi sono scritto lo sviluppo di [strike]loranne[/strike] Laurent di punto iniziale $z=1$

$sum( 1/((n!)(z-1)^n)) $

concludendo
$e^(z/(z-1))=e/((n!)(z-1)^n$

ora dovendo prendere il coefficiente di $1/(z-1)$ il residuo è $e$
giusto?

Certo... D'altra parte hai semplicemente usato la definizione di esponenziale, i.e.:
\[
e^\zeta = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \zeta^n\; ,
\]
valida per ogni \(\zeta \in \mathbb{C}\).
Infatti, hai:
\[
\begin{split}
e^{\frac{z}{z-1}} &= e^{1+\frac{1}{z-1}}\\
&= e\cdot e^{\frac{1}{z-1}}\\
&= e\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ \left(\frac{1}{z-1}\right)^n\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{e}{n!}\ \frac{1}{(z-1)^n}\; ,
\end{split}
\]
con convergenza per \(z\in \mathbb{C}\setminus \{1\}\), cosicché il residuo integrale di \(e^{\frac{z}{z-1}}\) in \(1\) è \(a_{-1} = \frac{e}{1!} = e\).