Calcolo Residuo
mi trovo in difficoltà con il calcolo di questo residuo. in pratica la traccia dice: calcolare i residui integrali della funzione $f(z)$ nel punto $z_0=0$
la $f(z)= (e^z-1-z)/(senz*(1-cos2z))
ho provato a fare qualche passaggio....ho visto che $e^x=1+z+z^2/(2!)+z^3/(3!)+....$
per calcolare il $Res(f(z),0)$ come devo procedere?
fin'ora ho svolto solo residui con polinomi al denominatore e mi sembravano facili....questi con i $sin$ e $cos$ mi lasciano perplesso.
come si svolgono?
la $f(z)= (e^z-1-z)/(senz*(1-cos2z))
ho provato a fare qualche passaggio....ho visto che $e^x=1+z+z^2/(2!)+z^3/(3!)+....$
per calcolare il $Res(f(z),0)$ come devo procedere?
fin'ora ho svolto solo residui con polinomi al denominatore e mi sembravano facili....questi con i $sin$ e $cos$ mi lasciano perplesso.
come si svolgono?
Risposte
provo a fornire una soluzione ma vorrei avere conferma...
$(1-cos2x)=(2*z)^2/2=2*z^2$
sostituisco questa relazione e l'espansione di $e^x$ e ottengo:
$(z^2/(2!)+z^3/(3!)+....)/(2*z^3)$
ora applico la formula
$lim_(z->0)(1/((n-1)!) * D^(n-1)*[(z-z_0)*f(x)])$
nel mio caso ho $2*z^3$ per cui mi troverei a risolvere una derivata del secondo ordine:
$lim_(z->0)(1/((3-1)!) * D^(3-1)*[(z^2/(2!)+z^3/(3!)+....)])$
è così che si svolge?
$(1-cos2x)=(2*z)^2/2=2*z^2$
sostituisco questa relazione e l'espansione di $e^x$ e ottengo:
$(z^2/(2!)+z^3/(3!)+....)/(2*z^3)$
ora applico la formula
$lim_(z->0)(1/((n-1)!) * D^(n-1)*[(z-z_0)*f(x)])$
nel mio caso ho $2*z^3$ per cui mi troverei a risolvere una derivata del secondo ordine:
$lim_(z->0)(1/((3-1)!) * D^(3-1)*[(z^2/(2!)+z^3/(3!)+....)])$
è così che si svolge?
Scusa la poca delicatezza, ma per altri motivi ho un attributo che ruota e l'altro che trasla.
Utilizzando i limiti notevoli (questi grandi sconosciuti) ottieni subito l'ordine [tex]$n$[/tex] di tale polo ed il termine [tex]$a_{-n}$[/tex] dello sviluppo di Laurent di tale funzione intorno a [tex]$0$[/tex]; inoltre, non hai tentato per bene con gli sviluppi in serie di potenze!
Utilizzando i limiti notevoli (questi grandi sconosciuti) ottieni subito l'ordine [tex]$n$[/tex] di tale polo ed il termine [tex]$a_{-n}$[/tex] dello sviluppo di Laurent di tale funzione intorno a [tex]$0$[/tex]; inoltre, non hai tentato per bene con gli sviluppi in serie di potenze!
mmm e quindi come dovrei svolgerlo?non l'ho capito....
ad ogni modo lo sviluppo di laurent ancora nn so farlo (ed in teoria non è previsto che lo sappia fare
) in quanto è conseguente come argomento. non c'è un altro modo per svolgerlo?
ad ogni modo lo sviluppo di laurent ancora nn so farlo (ed in teoria non è previsto che lo sappia fare
) in quanto è conseguente come argomento. non c'è un altro modo per svolgerlo?
[OT, ma solo in parte]
A questo punto sarebbe interessante sapere come ti hanno definito il residuo...
[/OT]
Per quanto riguarda il calcolo, il numeratore ha uno zero in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$p=2$[/tex] (ciò discende dallo sviluppo in serie di Taylor [tex]e^z-1-z=\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!} z^n[/tex]), mentre il denominatore ha uno zero in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$q=3$[/tex] (ciò discende dal fatto che [tex]$\sin z$[/tex] e [tex]$1-\cos 2z$[/tex] hanno in [tex]$0$[/tex] zeri d'ordine [tex]$1$[/tex] e [tex]$2$[/tex], rispettivamente, come si deduce dagli sviluppi di Taylor [tex]\sin z =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} z^{2n-1}[/tex] e [tex]1-\cos 2z=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!} z^{2n}[/tex]); conseguentemente la funzione assegnata ha in [tex]$0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$q-p=1$[/tex].
A questo punto il calcolo del residuo difenta una facile applicazione dei limiti notevoli e degli sviluppi di Taylor troncati (roba da Analisi I).
"martinmistere":
ad ogni modo lo sviluppo di laurent ancora nn so farlo (ed in teoria non è previsto che lo sappia fare
A questo punto sarebbe interessante sapere come ti hanno definito il residuo...
[/OT]
Per quanto riguarda il calcolo, il numeratore ha uno zero in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$p=2$[/tex] (ciò discende dallo sviluppo in serie di Taylor [tex]e^z-1-z=\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!} z^n[/tex]), mentre il denominatore ha uno zero in [tex]$0$[/tex] d'ordine [tex]$q=3$[/tex] (ciò discende dal fatto che [tex]$\sin z$[/tex] e [tex]$1-\cos 2z$[/tex] hanno in [tex]$0$[/tex] zeri d'ordine [tex]$1$[/tex] e [tex]$2$[/tex], rispettivamente, come si deduce dagli sviluppi di Taylor [tex]\sin z =\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} z^{2n-1}[/tex] e [tex]1-\cos 2z=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!} z^{2n}[/tex]); conseguentemente la funzione assegnata ha in [tex]$0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$q-p=1$[/tex].
A questo punto il calcolo del residuo difenta una facile applicazione dei limiti notevoli e degli sviluppi di Taylor troncati (roba da Analisi I).
ad averlo fatto taylor ad analisi I. ad ogni modo mi potresti linkare qualche guida fatta bene con le definizioni e (qualche esempio per la loro individuazione) di polo e zero della funzione?perchè sul mio libro non c'è nemmeno un esempio pratico in merito e dedurlo dalle formule mi è alquanto complicato. pensavo di averli capiti ma dal ragionamento che hai fatto te ho dubbi pure su questi.
più vado avanti e più mi rendo conto che quest'esame nn fa per me e più sarei tentato di toglierlo dal piano di studi. ricordarsi tutte queste cose dopo che non si prendono in mano da anni e anni non è affatto facile.
più vado avanti e più mi rendo conto che quest'esame nn fa per me e più sarei tentato di toglierlo dal piano di studi. ricordarsi tutte queste cose dopo che non si prendono in mano da anni e anni non è affatto facile.
Io l'analisi complessa l'ho studiata esclusivamente da questo quaderno didattico del dipartimento di matematica dell'università di Torino (click!).
okki grazie!gli do uno sguardo 
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