Calcolo Residui $f(z)=frac{1}{\sin(\frac{1}{z})}$

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Salve Ragazzi ,

Durante lo svolgimento di tale esercizio ho riscontrato alcuni problemi :

Per iniziare determino il Campo di Esistenza : $z \ne 0$ e $z_k \ne \frac{1}{k\pi} $ con $k \ne 0$ $\in$ $\mathbb{Z}$

$z=0$ è punto di accumulazione e Esiste un compatto di raggio arbitrario $r=\xi + \frac{1}{k\pi}$ che contiene tutti i punti singolari , quindi ha senso calcolare il residuo all'infinito.

Ora Classifico i punti singolari .

Posso dire che $z=0$ è punto di accumulazione,quindi non si calcola il residuo.

Per Corollario del teorema dei Residui ho : $Res(f,\infty)+Res(f,z_k)=0$

Quindi $Res(f,\infty)=-Res(f,z_k)$

Calcolo $Res(f,\infty)=Res(-\frac{1}{z^2}\frac{1}{\sin(z)},0)=\lim_{z->0} -\frac{1}{z\sin(z)}$ DIVERGE!

Cosa sbaglio??

[Giuly191]

La funzione $-1/z^2 f(1/z)$ non ha mica un polo semplice in $0$ come stai supponendo, ma del terzo ordine, quindi il suo residuo non è quello che hai scritto. Se usi la formula giusta ti viene che il suo residuo all'infinito è $-1/6$, che è esattamente (meno) quello che ti viene sommando tutti quelli al finito:
$$
\sum_{k \ne 0} Res(f,z_k) = \sum_{k \ne 0 } \frac{ (-1)^{k+1} }{ \pi^2 k^2 }
$$

[***1117]

Grazie mille