Calcolo residui formula

[microinfo]

ho un problema con il calcolo dei residui per i poli multipli:
esempio: 1/((s-1)^3)
s=1 polo triplo
usando la formula:lim (s->s0) 1/(k-1)! d(k-1)/ds(k-1)[(s-s0)^k*f(s)]
quindi mi calcolo il residuo di ordine uno: lim s->s0 (s-1)*f(s)
poi mi calcolo il residuo di ordine due: lim s->s0 d/ds [(s-1)^2*f(s)]
poi mi calcolo il residui di ordine tre: lim s->s0 1/2 d/ds [(s-1)^3*f(s)]

invece su certi esercizi svolti non mi trovo, perchè per il calcolo del res di ordine uno mette (s-s0)^3, poi (s-s0)^2 e infine (s-s0). mi potete spiegare dove sbaglio? cioè k non è l'ordine del residuo?

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Che materia studi, controlli automatici?

[gugo82]

Mettiamo che \(f(z)\) abbia un polo d'ordine \(3\) in \(z_0\); in tal caso l'espansione di Laurent di \(f\) intorno a \(z_0\) è:
\[
f(z) = \frac{a_{-3}}{(z-z_0)^3}+\frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2}+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+\phi(z)
\]
in cui \(\phi(z)\) è olomorfa intorno a \(z_0\).
Se voglio calcolare \(a_{-3}\) basta che moltiplico m.a.m. la precedente per \((z-z_0)^3\), ottenendo:
\[
(z-z_0)^3\ f(z) = a_{-3}+a_{-2}\ (z-z_0)+a_{-1}\ (z-z_0)^2 +(z-z_0)^3\ \phi(z)\; ,
\]
e passo al limite per \(z\to z_0\): in tal modo vedo che:
\[
a_{-3} = \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^3\ f(z)\; .
\]
Se voglio calcolare \(a_{-2}\) basta che moltiplico m.a.m. la precedente per \((z-z_0)^3\), ottenendo:
\[
(z-z_0)^3\ f(z) = a_{-3}+a_{-2}\ (z-z_0)+a_{-1}\ (z-z_0)^2 +(z-z_0)^3\ \phi(z)\; ,
\]
derivo rispetto a \(z\), ottenendo:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} z} [(z-z_0)^3\ f(z)] = a_{-2}+2a_{-1}\ (z-z_0) + \frac{\text{d}}{\text{d} z} [(z-z_0)^3\ \phi(z)]\; ,
\]
e passo al limite per \(z\to z_0\): in tal modo vedo che:
\[
a_{-2} = \lim_{z\to z_0} \frac{\text{d}}{\text{d} z} [(z-z_0)^3\ f(z)]\; .
\]
Infine, se voglio calcolare \(a_{-1}\) basta che moltiplico m.a.m. la precedente per \((z-z_0)^3\), ottenendo:
\[
(z-z_0)^3\ f(z) = a_{-3}+a_{-2}\ (z-z_0)+a_{-1}\ (z-z_0)^2 +(z-z_0)^3\ \phi(z)\; ,
\]
derivo rispetto a \(z\) due volte, ottenendo:
\[
\frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2} [(z-z_0)^3\ f(z)] = 2a_{-1} + \frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2} [(z-z_0)^3\ \phi(z)]\; ,
\]
e passo al limite per \(z\to z_0\): in tal modo vedo che:
\[
a_{-1} = \lim_{z\to z_0} \frac{1}{2}\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2} [(z-z_0)^3\ f(z)]\; .
\]

Ora, questo procedimento è ampiamente generalizzabile. Se \(f\) ha in \(z_0\) un polo d'ordine \(N\), allora il suo sviluppo di Laurent è:
\[
f(z) = \frac{a_{-N}}{(z-z_0)^N}+\frac{a_{-N+1}}{(z-z_0)^{N-1}}+\cdots+\frac{a_{-1}}{z-z_0}+\phi(z)
\]
ed i coefficienti \(a_{-N},a_{-N+1},\ldots ,a_{-1}\) si trovano mediante la formula:
\[
a_{-n} = \lim_{z\to z_0} \frac{1}{(N-n)!}\ \frac{\text{d}^{N-n}}{\text{d} z^{N-n}} [(z-z_0)^N\ f(z)]\; .
\]