Calcolo residui
Salve ragazzi! Sto risolvendo alcuni integrali con il metodo dei residui ma ho visto che in alcuni esercizi svolti i residui vengono calcolati in modo diretto senza fare la fattorizzazione o limiti. Per esempio 1/(z^6+1) viene subito detto che il residuo in zi sarà -zi/6. Da dove viene questo risultato?!
Risposte
La funzione ha un polo di ordine 6... qualche calcoletto lo devi fare, basta un limite o applicare la formula per il calcolo del residuo nel caso di poli.
Non dovrebbe essere un polo di ordine 6, ma 6 poli semplici! E proprio in virtù di questo ci dovrebbe essere un sistema (sfruttando Hopital?!?!?) che mi consente di fare il calcolo con poco spreco di carta!
Hai assolutamente ragione, sono 6 poli semplici:
\[ e^{\frac{i k\pi}{3}}, k=0,1,...,5. \]
Il residuo della funzione in ogni polo lo trovi calcolando la funzione:
\[ \frac{1}{6 z^5} \]
nel polo, ottenendo:
\[
\frac{1}{6}e^{-i\pi k \frac{5}{3}}.
\]
. Infatti, quando hai una funzione del tipo $f= g/h$, con $g(z_0)\ne 0$ e $h(z)$ che ha una radice semplice in $z_0$, allora
\[
Res (f,z_0)= \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
\]
\[ e^{\frac{i k\pi}{3}}, k=0,1,...,5. \]
Il residuo della funzione in ogni polo lo trovi calcolando la funzione:
\[ \frac{1}{6 z^5} \]
nel polo, ottenendo:
\[
\frac{1}{6}e^{-i\pi k \frac{5}{3}}.
\]
. Infatti, quando hai una funzione del tipo $f= g/h$, con $g(z_0)\ne 0$ e $h(z)$ che ha una radice semplice in $z_0$, allora
\[
Res (f,z_0)= \frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
\]
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