Calcolo residui

[stefano_89]

Buonasera a tutti, ho un volece quesito da porvi sul calcolo dei residui.
Ho l' esercizio: $\int_{-\infty}^{+\infty}z/(z^2 + 4z + 13)^2dz$ e devo risolverlo ricordando che tale integrale è uguale: $2\pii\sum_{k = 1}^{n}res(a_k, f)$ con $a_k$ i poli della funzione integranda.

l' esercizio di per se è piuttosto veloce, ma in mezzo ai calcoli furibondi del professore è spuntata una cosa che mi ha sorpreso: nella sommatoria considerava solo residui dei poli a parte immaginaria positiva.

Come mai??

Certamente mi sono perso qualche passaggio o qualche osservazione, ma sta di fatto che non riesco a venirne fuori.

Grazie a tutti

[pater46]

Quell'integrale non è uguale alla somma dei residui: quella che consideri non è infatti una curva di Jordan, ma la retta reale.

Costruisci su tale retta una curva di Jordan composta da: un segmento di raggio $R$ centrato sull'origine, ed un semicerchio di raggio R sempre centrato sull'origine.
Naturalmente percorrerai tale percorso in senso antiorario..

Fai il limite per $R -> oo$ dell'integrale su tale percorso, ed utilizza il lemma del cerchio grande per calcolare l'integrale sul semicerchio.

Ricorda che, dato che questa è una curva di jordan, l'integrale su essa è uguale a $2 pi i$ per la somma dei residui al suo interno. In questo caso, siamo nel semipiano $y>0$, dunque probabilmente questa è proprio la soluzione utilizzata dal tuo professore.. ecco il perchè del tuo dubbio.