Calcolo potenziale campo
Determino il potenziale del seguente campo:
$w = y^2 dx + 2xy dy - 1/z^(2)dz$
Ne scelgo una a caso per partire:
$int 2xy dy = 2x int y dy = xy^2+c(x,z)$
Derivo o rispetto a $z$ o rispetto a $x$ ed eguaglio rispettivamente a $F_3$ o $F_1$, in questo caso ho scelto $z$:
$d/dz[xy^2+c(x,z)] =-1/z^2$
quindi: $c_z(x,z)=-1/z^2$
integro per ricavarmi $c(x,z)$
$int -1/z^2 dz = 1/z +c(x)$
Derivo rispetto a $x$ ed eguaglio a $F_1$:
$d/dx[1/z+c(x)] =y^2$
quindi $c'(x)=y^2$
integro per ricavarmi $c(x)$
$int y^2 dx = y^2x+ c$
Mettendo tutto insieme otteniamo:
$U(x,y,z) = 2*xy^2+1/z$
Per verificare se è tutto ok provo a calcolarmi le tre derivate parziali ma ottengo valori diversi da quelli di partenza, ho un 2 in più nelle derivate parziali in $x$ e $y$:
$U_x(x,y,z) = 2y^2$
$U_y(x,y,z) = 4xy$
$U_z(x,y,z) = -1/z^2$
$w = y^2 dx + 2xy dy - 1/z^(2)dz$
Ne scelgo una a caso per partire:
$int 2xy dy = 2x int y dy = xy^2+c(x,z)$
Derivo o rispetto a $z$ o rispetto a $x$ ed eguaglio rispettivamente a $F_3$ o $F_1$, in questo caso ho scelto $z$:
$d/dz[xy^2+c(x,z)] =-1/z^2$
quindi: $c_z(x,z)=-1/z^2$
integro per ricavarmi $c(x,z)$
$int -1/z^2 dz = 1/z +c(x)$
Derivo rispetto a $x$ ed eguaglio a $F_1$:
$d/dx[1/z+c(x)] =y^2$
quindi $c'(x)=y^2$
integro per ricavarmi $c(x)$
$int y^2 dx = y^2x+ c$
Mettendo tutto insieme otteniamo:
$U(x,y,z) = 2*xy^2+1/z$
Per verificare se è tutto ok provo a calcolarmi le tre derivate parziali ma ottengo valori diversi da quelli di partenza, ho un 2 in più nelle derivate parziali in $x$ e $y$:
$U_x(x,y,z) = 2y^2$
$U_y(x,y,z) = 4xy$
$U_z(x,y,z) = -1/z^2$
Risposte
Ciao Luk_3D,
A me risulta semplicemente $U(x,y,z) = xy^2 + 1/z $
A me risulta semplicemente $U(x,y,z) = xy^2 + 1/z $
"pilloeffe":
Ciao Luk_3D,
A me risulta semplicemente $U(x,y,z) = xy^2 + 1/z $
Infatti sarebbe corretto ma dai passaggi sopra mi riesce cosi:
$xy^2 + c(x,z)$
$xy^2 + z^-1 + c(x)$
$xy^2 + z^-1 + xy^2 + c$
$2*xy^2 + z^-1 + c$
"Luk_3D":
[quote="pilloeffe"]Ciao Luk_3D,
A me risulta semplicemente $U(x,y,z) = xy^2 + 1/z $
Infatti sarebbe corretto ma dai passaggi sopra mi riesce cosi:
$xy^2 + c(x,z)$
$xy^2 + z^-1 + c(x)$
$xy^2 + z^-1 + xy^2 + c$
$2*xy^2 + z^-1 + c$[/quote]
Nessuno che può aiutarmi?
Ciao! Guarda meglio questa parte
Cosa devi derivare rispetto a $x$ ?
Derivo rispetto a $x$ ed eguaglio a $F_1$:
$d/dx[1/z+c(x)]=y^2$
Cosa devi derivare rispetto a $x$ ?
"ValeForce":
Ciao! Guarda meglio questa parte
Derivo rispetto a $x$ ed eguaglio a $F_1$:
$d/dx[1/z+c(x)]=y^2$
Cosa devi derivare rispetto a $x$ ?
Mi serve questo passaggio per calcolarmi $c(x)$, è lo stesso che ho fatto prima con $z$ ed $F_3$.
Beh, non hai colto il mio suggerimento.
Stai cercando una funzione $U$ tale che
$\frac{\partial U}{\partial x}= y^2;\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2xy;\quad \frac{\partial U}{\partial z}=-1/z^2$
Fino al punto in cui ti ho invitato a riflettere, hai ottenuto che
$U(x,y,z)=xy^2+1/z+c(x)$
Adesso devi derivare QUESTA $U$ rispetto ad $x$ ed eguagliarla a $y^2$, per trovare $c(x)$.
Stai cercando una funzione $U$ tale che
$\frac{\partial U}{\partial x}= y^2;\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2xy;\quad \frac{\partial U}{\partial z}=-1/z^2$
Fino al punto in cui ti ho invitato a riflettere, hai ottenuto che
$U(x,y,z)=xy^2+1/z+c(x)$
Adesso devi derivare QUESTA $U$ rispetto ad $x$ ed eguagliarla a $y^2$, per trovare $c(x)$.
"ValeForce":
Beh, non hai colto il mio suggerimento.
Stai cercando una funzione $U$ tale che
$\frac{\partial U}{\partial x}= y^2;\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2xy;\quad \frac{\partial U}{\partial z}=-1/z^2$
Fino al punto in cui ti ho invitato a riflettere, hai ottenuto che
$U(x,y,z)=xy^2+1/z+c(x)$
Adesso devi derivare QUESTA $U$ rispetto ad $x$ ed eguagliarla a $y^2$, per trovare $c(x)$.
A seguito $c(x) = c$ ed il problema è risolto, grazie mille!
"ValeForce":
Beh, non hai colto il mio suggerimento.
Stai cercando una funzione $U$ tale che
$\frac{\partial U}{\partial x}= y^2;\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2xy;\quad \frac{\partial U}{\partial z}=-1/z^2$
Fino al punto in cui ti ho invitato a riflettere, hai ottenuto che
$U(x,y,z)=xy^2+1/z+c(x)$
Adesso devi derivare QUESTA $U$ rispetto ad $x$ ed eguagliarla a $y^2$, per trovare $c(x)$.
Una volta trovato questo potenziale, analizzando il dominio di $w$ posso affermare che non è conservativo in $R^3$? C'è un problema in $z=0$
"Luk_3D":
[quote="ValeForce"]Beh, non hai colto il mio suggerimento.
Stai cercando una funzione $U$ tale che
$\frac{\partial U}{\partial x}= y^2;\quad \frac{\partial U}{\partial y}=2xy;\quad \frac{\partial U}{\partial z}=-1/z^2$
Fino al punto in cui ti ho invitato a riflettere, hai ottenuto che
$U(x,y,z)=xy^2+1/z+c(x)$
Adesso devi derivare QUESTA $U$ rispetto ad $x$ ed eguagliarla a $y^2$, per trovare $c(x)$.
Una volta trovato questo potenziale, analizzando il dominio di $w$ posso affermare che non è conservativo in $R^3$? C'è un problema in $z=0$[/quote]
Nessuno che può rispondermi? Siamo proprio sul finale
Ma no, certo che è conservativo, addirittura hai trovato un potenziale esplicito. Esso non è definito per \(z=0\) ma è tutto normale; neanche il campo vettoriale è definito per \(z=0\). Non ti imbrogliare con il concetto di "dominio semplicemente connesso".
"dissonance":
Ma no, certo che è conservativo, addirittura hai trovato un potenziale esplicito. Esso non è definito per \(z=0\) ma è tutto normale; neanche il campo vettoriale è definito per \(z=0\). Non ti imbrogliare con il concetto di "dominio semplicemente connesso".
Anche del campo:
$w = -y/(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2)dy$
Ho trovato un potenziale esplicito:
$U(x,y) = -arctg(x/y)$
Ma da quanto affermato dal mio libro di testo non è conservativo. Anche qui c'è un problema in $x=0$ e $y=0$
Sono due esempi molto diversi. Nel primo caso, il potenziale è definito nello stesso dominio del campo, nel secondo no.
"dissonance":
Sono due esempi molto diversi. Nel primo caso, il potenziale è definito nello stesso dominio del campo, nel secondo no.
Non ho molto chiara la questione, prima di tutto vorrei analizzare un mio dubbio sul dominio della funzione appena proposta.
Sarebbe:
$D={(x,y,z) in mathbb(R)^3:x^2+y^2!=0}$
Si potrebbe riscrivere in qualche altro modo più friendly?
Il dominio scritto sopra dovrebbe stare a significare: tutto $mathbb(R)^3$ tolti i valori per cui $x^2+y^2=0$, dove questa equazione è verificata solo per $x=0$ e $y=0$ CONTEMPORANEAMENTE.
Quindi non posso scrivere:
$D={(x,y,z) in mathbb(R)^3:x^2!=0,y^2!=0}$
In quanto eliminerebbe il caso in cui uno dei due sia uguale a zero e l'altro no. Casomai quest'ultima si potrebbe sostituire ad un dominio del tipo:
$D={(x,y,z) in mathbb(R)^3:x^2y^2!=0}$
Tralasciando questo non ho ben capito come procedere nel secondo caso.
Senti, non ho il tempo di riflettere a fondo su quanto hai scritto, ma faccio solo una osservazione che credo essere fondamentale. La funzione \(\arctan(x/y)\) non è definita su tutto l'asse delle \(x\), ovvero per \(y=0\). Mentre il campo vettoriale che hai scritto non è definito solo per \((x, y)=(0,0)\). E quindi, quella funzione non è un suo potenziale globale, come si dice a volte. Lo è solo in un sotto-dominio.
Non è lo stesso per il primo campo vettoriale che hai scritto. Lì il dominio del campo e quello della funzione potenziale sono la stessa cosa.
Non è lo stesso per il primo campo vettoriale che hai scritto. Lì il dominio del campo e quello della funzione potenziale sono la stessa cosa.
Ma il tuo ragionamento ha senso nel caso conoscessimo già il potenziale.
Normalmente dovremmo:
- Verificare che è irrotazionale (in questo caso lo è)
- Verificare che il dominio $D={(x,y,z) in mathbb(R)^3:x^2+y^2!=0}$ sia semplicemente connesso.
Quindi in questo caso dovrei dimostrare che $D={(x,y,z) in mathbb(R)^3:x^2+y^2!=0}$ non è semplicemente connesso.
--Update--
Sono giunto alla conclusione che essendo il dominio $R^2-{0,0}$ è connesso, ma non è semplicemente connesso in quanto è privato da un punto.
In opportuna sede procederò a ricopiare la definizione del libro, non ho trovato un modo più chiaro intuibile per spiegarlo.
Stesso ragionamento non vale per $R^3$.
Normalmente dovremmo:
- Verificare che è irrotazionale (in questo caso lo è)
- Verificare che il dominio $D={(x,y,z) in mathbb(R)^3:x^2+y^2!=0}$ sia semplicemente connesso.
Quindi in questo caso dovrei dimostrare che $D={(x,y,z) in mathbb(R)^3:x^2+y^2!=0}$ non è semplicemente connesso.
--Update--
Sono giunto alla conclusione che essendo il dominio $R^2-{0,0}$ è connesso, ma non è semplicemente connesso in quanto è privato da un punto.
In opportuna sede procederò a ricopiare la definizione del libro, non ho trovato un modo più chiaro intuibile per spiegarlo.
Stesso ragionamento non vale per $R^3$.
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