Calcolo polinomio Mc-Laurin

[andrea.corzino]

devo calcolare il seguente polinomio di taylor all'ordine 3 in $ x_o=0 $

f(x)=e^(x+1)

mi ero chiesto se era possibile risolverlo semplicemente applicando mc larurin alla funzione esponenziale che si ottiene dopo aver posto $ (x+1)=y $

in tal modo si avrebbe che:

$ e^y= 1+y+y^2/2+y^3/3+o(y^3) $

ricordando poi la sostituzione $ e^(x+1)=y $ ottengo:

$ e^(x+1)= 1+(x+1)+(x+1)^2/2+(x+1)^3/3+o(x+1)^3 $

a questo punto posso scrivere $ o(x+1)^3 $ in qualche altro modo piu semplice o lo lascio cosi?

e soprattutto è giusto come ho proceduto?

nel senso che per le funzioni composte in cui si applicano le sostituzioni bisogna sempre vedere il nuovo centro di sviluppo o qualcosa di simile...ad esempio l'argomento dell'esponenziale $ (x+1)->1 $ quando $ x->0 $

quindi quando faccio la sostituzione con y in realtà ho un argomento y che tende a 1 quando x tende a zero....posso usare comunque mc laurin anche se l'argomento non tende a zero?....dato che la formula di mc laurin sarebbe: $ P_n(x)=f(0)+(f'(0))/(1!)x+(f''(0))/(2!)x^2+.... $

come devo comportarmi in questi casi di funzioni composte?

grazie!!

[ciampax]

Hai avuto una buona intuizione ma facendo quella sostituzione ti ritrovi a calcolare lo sviluppo in $y_0=1$ e quindi non puoi usare la "formuletta" dello sviluppo di McLaurin. Invece puoi osservare che
$$f(x)=e^x\cdot e$$
e quindi basta moltiplicare lo sviluppo dell'esponenziale per $e$.