Calcolo polinomio di taylor

[BoG3]

Ciao, sto svolgendo un esercizio ma non mi viene il risultato giusto:

Scrivere il polinomio di taylor nel punto iniziale $0$ di: $cos(sinx)-ln(1+2x)$. Provo col metodo diretto, calcolandomi le varie derivate e calcolando il tutto in $0$: (di grado secondo)

$f'=-sin(sinx)cosx-2/(1+2x)$

$f''=-cos(sinx)cos^2x+sin(sinx)sinx+4/(1+2x)^2$

Ora mi calcolo il valoer in $0$:

$f(0)= 1$
$f'(0)=0-2 = -2$
$f''(0)=1*1+0+4=5$

e quindi mi aspetto un polinomio di taylor del tipo: $P(x) = 1-2x+5x^2$ ma la soluzione giusta è $P(x) = 1-2x+3/2x^2$

mi sapete dire dove ho sbagliato?

[Zero87]

Ciao BoG: m'hai dato filo da torcere perché anche a me riportava tutto come te, ma alla fine ho trovato due sviste. E dire che in genere sono io che faccio errori di calcolo anziché correggerli.

Allora, la prima è nel calcolo della derivata seconda in $x=0$
$-cos(sin(0))cos^2(0)= -cos(0) \cdot 1^2=-1$.

La seconda, sta proprio nella definizione del polinomio di Taylor
$f(x)=\sum_(k=0)^n \frac{f^((k))(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R(x)$
dove il resto è di Peano/Lagrange/integrale.

Comunque, centrandola in $x_0 =0$, diventa
$f(x)= \sum_(k=0)^n \frac{f^((k))(0)}{k!} x^k+ R(x)$
prendendo il secondo ordine e togliendo dalle scatole il resto, avresti
$= f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2$
a parte la svista sulla derivata seconda, avevi dimenticato il $2! =2$ del denominatore.

[BoG3]

Grazie mille.