Calcolo periodicità di cos(^2)x

[Andp]

Salve ragazzi avrei un altro dubbio.
Calcolando la periodicità delle funzione tramite la formula ad esempio : cos(x+t)=cosx ; x+t =x+2pgrc ; t=2pgrc;

Mi domandavo come valesse la cosa per cos(^2)x .
Girando sul web ho trovato questo tizio che dice http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 826AAPE4Kh
che la periodicità di cos(^2)x e 2pgrc. Ma su wolfram dice che è pgrec.
Come devo fare in questo caso?

[ciampax]

Parti dalla definizione: se $T$ è il periodo allora deve essere

$\cos^2(x+T)=\cos^2 x$ e cioè $\cos(x+T)=\pm\cos x$

Ora se risolvi $\cos(x+T)=\cos x$ trovi $T=2\pi$ (per definizione di periodo della funzione coseno). Tuttavia, si ha pure

$\cos(x+T)=-\cos x=\cos(x+\pi)$ da cui le soluzioni

$x+T=x+\pi,\qquad x+T=-(x+\pi)$

La prima restituisce $T=\pi$, la seconda $T=-2x-\pi$ che va scartata perché dipende da $x$.

A questo punto ti trovi di fronte al dilemma: il periodo è $T=2\pi$ oppure $T=\pi$? Sostituendo la seconda scopri che

$\cos^2(x+\pi)=(-\cos x)^2=\cos^2 x$

e pertanto questo valore (che è quello più piccolo tra i due, risulta il periodo corretto.

[Andp]

Grazie mille gentilisimo!!

[Andp]

La funzione 2cosx-cos^2x
2 cosx ha periodicità 2pgrc mentre cos^x ha pgrc.
Se conta il fatto che si fa il m.c.m la periodicità dovrebbe essere pigreco ma non lo è come mai?

[ciampax]

No, se sommi le funzioni, il periodo è pari a quello più grande.