Calcolo massimo e minimo vincolato
Salve a tutti, vorrei chiedervi aiuto per questo esercizio sul calcolo del massimo e minimo di una funzione vincolata.
La funzione ed il suo dominio è la seguente:
$ f(x,y)=y-x^3, D={(x,y) in R^2: |x|-1<= y<=1-|x|} $
Data la continuità della funzione, e dato che il dominio è chiuso e limitato, siamo certi per il teorema di Weierstrass che il massimo ed il minimo esistono, e si troveranno o all'interno del dominio o sul bordo.
Provando a calcolarli all'interno del dominio (annullando il gradiente) troviamo che:
$ grad F(x,y)=(-3x^2,1) $
però non saprei cosa dire a riguardo...
Ho provato ad analizzare la funzione sul bordo del dominio, ma non riesco a capire come agire...
Magari riuscite ad aiutarmi
Un saluto!
La funzione ed il suo dominio è la seguente:
$ f(x,y)=y-x^3, D={(x,y) in R^2: |x|-1<= y<=1-|x|} $
Data la continuità della funzione, e dato che il dominio è chiuso e limitato, siamo certi per il teorema di Weierstrass che il massimo ed il minimo esistono, e si troveranno o all'interno del dominio o sul bordo.
Provando a calcolarli all'interno del dominio (annullando il gradiente) troviamo che:
$ grad F(x,y)=(-3x^2,1) $
però non saprei cosa dire a riguardo...
Ho provato ad analizzare la funzione sul bordo del dominio, ma non riesco a capire come agire...
Magari riuscite ad aiutarmi
Un saluto!
Risposte
Il gradiente non si annulla quindi max/min all'interno del dominio non ce ne sono.
Bisogna cercarli allora sul bordo di quella che sembra essere un rombo...
Verifica prima di tutto quanto vale la funzione $f(x,y)$ nei punti di vertice, cioè in $(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1) $.
Sui lati del rombo, di cui non è difficile trovare le quazioni che li descrivono il problema si riduce a ricerca di max /min in una sola variabile. OK ?
Bisogna cercarli allora sul bordo di quella che sembra essere un rombo...
Verifica prima di tutto quanto vale la funzione $f(x,y)$ nei punti di vertice, cioè in $(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1) $.
Sui lati del rombo, di cui non è difficile trovare le quazioni che li descrivono il problema si riduce a ricerca di max /min in una sola variabile. OK ?
grazie mille per la risposta, tutto chiarissimo, infatti dopo aver scritto la mail avevo notato che il gradiente non si annullava tuttavia ho un'ultima perplessità: per trovare il max/min sui lati del rombo come devo procedere? mettendo a sistema l'equazione di ognuna delle 4 rette (che costituiscono i 4 lati del rombo) con la funzione?
Ciao!
Devi prima trovare le equazioni delle rette passanti per i vari punti, trovate le rette le riscrivi in una sola variabile. Andrai quindi a studiare la derivata prima di questa nuova funzione in modo da ricavarti i massimi ed i minimi.
Ad esempio: retta passante per $(1,0)$ e $(-1,0)$ avrà equazione:
$y=0$ quindi puoi riscrivere in una sola variabile la tua funzione iniziale facendo una sostituzione $g(f(x,0))=-x^3$.
Adesso studia la derivata di $-x^3$ per trovare i valori di massimo e minimo. Ripeti poi il procedimento per le altre tre rette.
Ciao!
Devi prima trovare le equazioni delle rette passanti per i vari punti, trovate le rette le riscrivi in una sola variabile. Andrai quindi a studiare la derivata prima di questa nuova funzione in modo da ricavarti i massimi ed i minimi.
Ad esempio: retta passante per $(1,0)$ e $(-1,0)$ avrà equazione:
$y=0$ quindi puoi riscrivere in una sola variabile la tua funzione iniziale facendo una sostituzione $g(f(x,0))=-x^3$.
Adesso studia la derivata di $-x^3$ per trovare i valori di massimo e minimo. Ripeti poi il procedimento per le altre tre rette.
Ciao!
non riesco a capire cosa intendi... le rette sono oblique come si fa a esplicitarle in una sola variabile?
potresti mostrarmi come fare, nel mio caso, per una delle 4 rette che compongono il vincolo?
potresti mostrarmi come fare, nel mio caso, per una delle 4 rette che compongono il vincolo?
La retta passante per $(-1,0) ; (1,0)$ non fa parte del bordo; piuttosto la retta passante per $(0,-1);( 1,0)$ di equazione $y= x-1 $ con $0<=x <=1$ fa parte del bordo.
Quindi la funzione diventa su questo lato del rombo-anzi è un quadrato- $f(x,x)= x-1-x^3 $ che si può studiare facilmente.
Quindi la funzione diventa su questo lato del rombo-anzi è un quadrato- $f(x,x)= x-1-x^3 $ che si può studiare facilmente.
Ora è tutto chiaro! Mi mancava il particolare della funzione in una variabile... Vecchi ricordi 
Grazie a tutti per le risposte
!!
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