Calcolo massimi e minimi con hessiano nullo.

[MDD1]

Sto trovando un po' di problemi con il calcolo di massimi e minimi nel caso di hessiano nullo...

Ho visto i due metodi utilizzabili, quello delle rette per punti e quello del segno, ma non riesco ad applicarli praticamente.

Ho questo esercizio:

$ f(x,y) = (x-1)(x^2-y^2) $

i punti estremali sono $ A (0,0) ; B (1,1) ; C (1,-1) ; D ( 2/3,0) $

Il $ detH=-12xy$ è negativo in $ B$ , quindi $B$ è un punto di sella.

In $C$ è positivo, quindi quel punto dovrebbe essere un minimo o un massimo,giusto? Verificando su wolfram me lo indica come punto di sella, perché?

Infine si annulla in $A$ e in $D$

volendo applicare il metodo del segno per il punto A ho:

$f(x,y)-f(x_0,y_0)>0$ $to$ $ (x-1)(x^2-y^2)>0$ per $x>1;x>y$ .
mentre
$f(x,y)-f(x_0,y_0)<0$ $to$ $ (x-1)(x^2-y^2)<0$ per $x<1;x
Quindi, dato che la $f(x,y)$ è sia maggiore che minore di $f(x_0,y_0)$, deduco che $A$ è un punto di sella.
È questo il ragionamento giusto?

Infine il problema maggiore l'ho riscontrato nello studio del comportamento della funzione in relazione al punto $D(2/3,0)$, non riesco ad arrivare ad una conclusione sia con il metodo del segno che con quello delle rette per punti.
Qualcuno può darmi una mano?

Grazie

[gio73]

io consiglio sempre lo studio del segno
vedrai che A B e C diventeranno evidenti

lo studio del segno ti guiderà anche nell'interpretare l'ultimo punto

[MDD1]

"gio73":
vedrai che A B e C diventeranno evidenti

lo studio del segno ti guiderà anche nell'interpretare l'ultimo punto

Se il ragionamento che ho scritto è esatto, per A e B non ci sono problemi.
Il problema in C viene dal fatto che verificando su wolfram alpha me lo indica come punto di sella, mentre a me il determinante della matrice hessiana viene positivo, quindi C dovrebbe essere un punto di massimo o minimo.

Per quanto riguarda D sono arrivato a:

$f(x,y)-f(x_0,y_0)>0 to (x-1)(x^2-y^2)-4/27>0 to (x-1)(x^2-y^2)>4/27 $
però poi non riesco a capire come proseguire...

[gio73]

facendo lo studio del segno a me viene A B e C selle, D minimo (locale)

prova a farlo (lo studio del segno) vedrai che ti agevola

[MDD1]

"gio73":facendo lo studio del segno a me viene A B e C selle, D minimo (locale)

In A e B ci sono, in C no.

Se $detH=-12xy$ in $C(1,-1)$ $detH=12>0$, quindi ho o un punto di massimo o uno di minimo; dove sbaglio?

[gio73]

il determinante dell'hessiano in $C$ a me viene -4, puoi postare i tuoi conti?

[MDD1]

Nel calcolo del determinante c'era un errore nella disposizione all'interno della matrice.
Questi dovrebbero essere i calcoli corretti:

$f(x,y)=(x-1)(x^2-y^2)$
$f_x=(x^2-y^2)+(2x)(x-1)$
$f_y=-2y(x-1)$
$f_(x x)=2x+(2x-2)+2x=6x-2$
$f_(x y)=f_(y x)=-2y$
$f_(y y)=-2$

$ H=| ( 6x-2 , -2y ),( -2y , -2 ) | to detH=-12x+4-4y$
$A(0,0); B(1,1); C(1,-1); D(2/3,0)$

$detH_A=4$
$detH_B=-12$
$detH_C=-4$
$detH_D=-20/3$

A questo punto vedo che in B,C, e D il determinante è negativo quindi dovrebbero essere punti di sella, mentre in A è positivo, quindi potrebbe essere un massimo o un minimo.

Il problema è che A dovrebbe dovrebbe essere un punto di sella, mentre D un minimo locale.

[ciampax]

Ti faccio presente che $f_{yy}=-2(x-1)$....

[gio73]

@MDD
anyway you should learn to do... lo studio del segno, tutto diventerebbe evidente e ti accorgeresti di eventuali errori di distrazione nel fare i calcoli.

[MDD1]

Scusatemi...
ho ricontrollato un'infinità di volte quei calcoli ma l'errore m'è sempre sfuggito.

In definitiva,al di là dell'errore ed in riferimento allo studio del segno, devo praticamente svolgere le due disequazioni
$f(x,y)>f(x_0,y_0)$
$f(x,y)
e, se entrambe verificate, $A(x_0,y_0)=$ punto di sella, altrimenti o punto di massimo o punto di minimo?

[gio73]

"MDD":

In definitiva,al di là dell'errore ed in riferimento allo studio del segno, devo praticamente svolgere le due disequazioni
$f(x,y)>f(x_0,y_0)$
$f(x,y)

In riferimento allo studio del segno devi stabilire dove la funzione è negativa e dove è positiva, vuoi provare con la funzione che ti ha dato tanti grattacapi?

ma alla fine l'hessiano non era nullo da nessuna parte, was it?

[MDD1]

Si, alla fine il $det H$ non è mai nullo; è sempre negativo (con relativi punti di sella) e positivo in $(2/3,0)$ che rappresenta un punto di minimo relativo per la funzione.

Non so perché lo studio dei punti estremali mi stia dando tutti questi problemi...

Grazie per le risposte e scusami per l'errore (che poi era alla base di tutto... )

[gio73]

non scusarti degli errori, li fanno tutti.