Calcolo massimi e minimi al variare di $lambda$

[MDD1]

Sperando di evitare errori come nella precedente discussione vorrei proporvi quest'altro esercizio, sempre sul calcolo di max e min relativi.

Trovare eventuali massimi e minimi relativi della funzione per ogni $lambda in R$ e $lambda != 0$

$f(x,y)=x^3+y^3-3lambdaxy$

Il punto che verifica $f_x=0 ; f_y=0$ è $A(lambda,lambda)$
In $A$ il $detH_A=27 lambda^2$, quindi sempre $>0$

Per classificare il punto verifico quindi il segno del primo elemento della matrice hessiana, $f_(x x)=6x$, che in $A(lambda,lambda)$ è uguale a $6lambda$.

Quindi
$6lambda>0 harr lambda>0 rarr AA lambda>0, A= min rel$
$6lambda<0 harr lambda<0 rarr AA lambda<0, A= max rel$

Vorrei una conferma di quanto fin qui fatto.
È giusto il mio ragionamento?

L'esercizio chiede poi di verificare cosa accade per $lambda=0$.
A questo punto non saprei come proseguire; qualche suggerimento?

Grazie

[gio73]

"MDD":

L'esercizio chiede poi di verificare cosa accade per $lambda=0$.
A questo punto non saprei come proseguire; qualche suggerimento?

Grazie

prova a restringerti agli assi

[MDD1]

"gio73":

prova a restringerti agli assi

Intendi il metodo del fascio di rette passanti per il punto estremale?

In questo caso considero il fascio di rette passanti per $B(0,0)$
$y=y_0-mx_0+mx=mx to f(x,mx)=x^3+m^3x^3-3lambdamx^2$
derivo la funzione
$f'(x,mx)=3x^2+3m^3x^2-6lambdamx$
e studio il comportamento della derivata I per determinarmi il comportamento della funzione nel punto che mi interessa e quindi poterlo classificare.

Ho pensato di procedere in questo modo:

considero due valori distinti di $m$, $m=0$ ed $m=1$

Per $m=0$ ho
$f'(x,0)=3x^2>0, AA x in R$

Per $m=1$ ho
$f'(x,x)=3x^2+3x^2-6lambdax=6x^2-6lambdax=6x(x-lambda) to 6x(x-lambda)>0 harr x>0,x>lambda$
quindi la derivata I assume valori positivi o negativi al variare di $x$.

Dato che, per valori di $m$ differenti, la funzione ha un comportamento differente in $B(0,0)$, allora deduco che quello è un punto di sella.

Giusto?