Calcolo limiti con o-piccolo
devo calcolare il limite utilizzando gli o-piccolo:
$ lim_(x -> 0+) (5x^2+7x^3+o(x))/(2x+o(x))= lim_(x->0+)(o(x)+o(x)+o(x))/(2x(1+o(1)))=(o(x))/(2x(1+o(1)))= $
ora come faccio a semplificare gli o-piccolo a numeratore e denominatore?
e soprattutto a numeratore non dovrebbe esserci almeno un termine "numerico"??
e invece per questo limite come dovrei procedere? (il mio problema è sempre trovare il modo per semplificare gli o-piccolo a numeratore e denominatore tra loro:
$ lim_(x -> 0) (x^2+o(x^3))/(x^2+o(x^7))= $
GRAZIE!!
$ lim_(x -> 0+) (5x^2+7x^3+o(x))/(2x+o(x))= lim_(x->0+)(o(x)+o(x)+o(x))/(2x(1+o(1)))=(o(x))/(2x(1+o(1)))= $
ora come faccio a semplificare gli o-piccolo a numeratore e denominatore?
e soprattutto a numeratore non dovrebbe esserci almeno un termine "numerico"??
e invece per questo limite come dovrei procedere? (il mio problema è sempre trovare il modo per semplificare gli o-piccolo a numeratore e denominatore tra loro:
$ lim_(x -> 0) (x^2+o(x^3))/(x^2+o(x^7))= $
GRAZIE!!
Risposte
e sbagliato vero riguardo al primo limite trasformare tutti i termini come o(x)? però se lascio 5X^2 mi trovo comunque con un o(x) e non so come procedere per semplificare gli o-piccoli e risolvere il limite 
di solito dopo gli o-piccoli.. si usa l'asintotico.. però attenzione!
\( \text{definizione } f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow \lim_{x\to x_{x_0}} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \)
nel tuo caso.. domandati se è vero
\( \text{per } x\to 0 \) si ha \( 5x^2+7x^3+o(x^2) \sim 5x^2 \)
devi solo applicare la definizione
ATTENZIONE però all'uso degli asintotici è FALSO \( e^{x+1} \sim e^{x} \) per $x\to 0$
poiché $ \lim_(x\to 0) (e^(x+1))/(e^x)=\lim_(x\to 0) (e^x e)/(e^x)=e \ne 1 $
seconda cosa.. se per caso ottieni $ \lim_(x\to x_0) (o(x))/(\text{qualcosa}) $
devi sviluppare di più il numeratore.. non hai informazioni..
\( \text{definizione } f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow \lim_{x\to x_{x_0}} \frac{f(x)}{g(x)}=1 \)
nel tuo caso.. domandati se è vero
\( \text{per } x\to 0 \) si ha \( 5x^2+7x^3+o(x^2) \sim 5x^2 \)
devi solo applicare la definizione
ATTENZIONE però all'uso degli asintotici è FALSO \( e^{x+1} \sim e^{x} \) per $x\to 0$
poiché $ \lim_(x\to 0) (e^(x+1))/(e^x)=\lim_(x\to 0) (e^x e)/(e^x)=e \ne 1 $
seconda cosa.. se per caso ottieni $ \lim_(x\to x_0) (o(x))/(\text{qualcosa}) $
devi sviluppare di più il numeratore.. non hai informazioni..
grazie per l'aiuto..
pero l'esercizio mi dice che devo trovare il limite applicando esclusivamente le proprietà algebriche degli o-piccolo, no equivalenze asintotiche o altro.
e il mio problema è che mi ritrovo al numeratore dei termini di grado maggiore rispetto all'o-piccolo che perciò verrebbero inglobati da esso ...e dunque mi ritroverei solamente o(x) e come hai già detto tu non va affatto bene per la risoluzione del limite in quanto significa che a numeratore ho una funzione qualsiasi che non conosco e che l'unica informazione che so è che batte x al limite.
Non so proprio come fare
pero l'esercizio mi dice che devo trovare il limite applicando esclusivamente le proprietà algebriche degli o-piccolo, no equivalenze asintotiche o altro.
e il mio problema è che mi ritrovo al numeratore dei termini di grado maggiore rispetto all'o-piccolo che perciò verrebbero inglobati da esso ...e dunque mi ritroverei solamente o(x) e come hai già detto tu non va affatto bene per la risoluzione del limite in quanto significa che a numeratore ho una funzione qualsiasi che non conosco e che l'unica informazione che so è che batte x al limite.
Non so proprio come fare
Definizione \( f(x)=o(g(x)) \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0 \)
quindi \( \text{tu hai } 5x^2+7x^3+o(x^2) \) per $x\to 0$
ora chiediti.. è vero che \( 7x^3=o(x^2) \) per $x\to 0$ ?
verifichiamo $ \lim_(x\to 0) (7x^3)/(x^2)=\lim_(x\to 0)7x=0 $ SI..
è vero che $ 5x^2=o(x^2) $ per $x\to 0$ ?
questo lo lascio a te per esercizio..
quindi \( \text{tu hai } 5x^2+7x^3+o(x^2) \) per $x\to 0$
ora chiediti.. è vero che \( 7x^3=o(x^2) \) per $x\to 0$ ?
verifichiamo $ \lim_(x\to 0) (7x^3)/(x^2)=\lim_(x\to 0)7x=0 $ SI..
è vero che $ 5x^2=o(x^2) $ per $x\to 0$ ?
questo lo lascio a te per esercizio..
dunque già a occhio 5X^2 non mi pare sia un o-piccolo di x^2:
verifica: $ lim_(x -> 0) (5x^2)/x^2=5 != 0 $
dunque non è o(x^2)
ma il fatto è che io nel testo ho o(x) e non o(x^2)!!
cioè potrei trasformare anche gli altri termini in o(x^2) e o(x^3) MA comunque sommati all'o-piccolo di partenza ( o(x) ) che mi forniva il testo ottengo sempre o(x)... e dunque avrei al numeratore il solo o(X) che non mi dice nulla e anzi mi crea difficoltà ,se da solo,nel risolvere il limite.
e l'altro limite non riesco nemmeno a fare qualche passaggio sensato
per il primo limite ho pensato tutto il giorno oggi e magari è giusto se lo risolvo così:
$ lim_(x -> 0+) (5x^2+7x^3+o(x))/(2x+o(x))= lim_(x->0+)(5x^2+o(x^2)+o(x))/(2x(1+o(1)))= $
$ lim_(x -> 0+)(5x^2+o(x))/(2x(1+o(1)))=lim_(x -> 0+)(5x(x+o(1)))/(2x(1+o(1)))=5/2*lim_(x -> 0+) (x+o(1))/(1+o(1))=5/2*lim_(x -> 0+)x= 5/2*0=0 $
ma non so se è corretto,nel senso se ho applicato correttamente le proprietà degli o-piccolo per risolvere il limite.
Necessito di conferma su questo primo limite,inoltre avrei necessita di consiglio sul secondo limite del messaggio iniziale ,che proprio non ho idea di come risolvere!! visto che non riesco a semplificare gli o-piccolo
Se qualcuno puo aiutarmi ,soprattutto mostrandomi i passaggi in cui si applicano le propeità degli o-piccolo per giungere al risultato,che sto impazzendo XD...grazie
verifica: $ lim_(x -> 0) (5x^2)/x^2=5 != 0 $
dunque non è o(x^2)
ma il fatto è che io nel testo ho o(x) e non o(x^2)!!
cioè potrei trasformare anche gli altri termini in o(x^2) e o(x^3) MA comunque sommati all'o-piccolo di partenza ( o(x) ) che mi forniva il testo ottengo sempre o(x)... e dunque avrei al numeratore il solo o(X) che non mi dice nulla e anzi mi crea difficoltà ,se da solo,nel risolvere il limite.
e l'altro limite non riesco nemmeno a fare qualche passaggio sensato
per il primo limite ho pensato tutto il giorno oggi e magari è giusto se lo risolvo così:
$ lim_(x -> 0+) (5x^2+7x^3+o(x))/(2x+o(x))= lim_(x->0+)(5x^2+o(x^2)+o(x))/(2x(1+o(1)))= $
$ lim_(x -> 0+)(5x^2+o(x))/(2x(1+o(1)))=lim_(x -> 0+)(5x(x+o(1)))/(2x(1+o(1)))=5/2*lim_(x -> 0+) (x+o(1))/(1+o(1))=5/2*lim_(x -> 0+)x= 5/2*0=0 $
ma non so se è corretto,nel senso se ho applicato correttamente le proprietà degli o-piccolo per risolvere il limite.
Necessito di conferma su questo primo limite,inoltre avrei necessita di consiglio sul secondo limite del messaggio iniziale ,che proprio non ho idea di come risolvere!! visto che non riesco a semplificare gli o-piccolo
Se qualcuno puo aiutarmi ,soprattutto mostrandomi i passaggi in cui si applicano le propeità degli o-piccolo per giungere al risultato,che sto impazzendo XD...grazie
occhio però!..
chiediti è vero che $ 5x^2=o(x) $ per $x\to 0$ ?
verifichiamo se l'identità è corretta $ \lim_(x\to 0) (5x^2)/(x)=\lim_(x\to 0) 5x=0 $
quindi.. ti rimarrebbe al numeratore solo un $ o(x) \rArr \text{devi sviluppare di piu' il numeratore!} $
chiediti è vero che $ 5x^2=o(x) $ per $x\to 0$ ?
verifichiamo se l'identità è corretta $ \lim_(x\to 0) (5x^2)/(x)=\lim_(x\to 0) 5x=0 $
quindi.. ti rimarrebbe al numeratore solo un $ o(x) \rArr \text{devi sviluppare di piu' il numeratore!} $
e cosa intendi per sviluppare di piu il numeratore?
il testo originale è quello che ho postato, gia con gli sviluppi immessi e l'o piccolo...non ho modo di sviluppare a un ordine maggiore una possibile espansione di taylor
il testo originale è quello che ho postato, gia con gli sviluppi immessi e l'o piccolo...non ho modo di sviluppare a un ordine maggiore una possibile espansione di taylor
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo