Calcolo limite...help :(
Salve,
non so come approcciarmi a questo limite...ho guardato limiti notevoli, hopital, semplificazione, insomma e' tutta la mattina che scrivo ma niente
$ lim_{n \to \infty} 1/2^n * (2+1/(3n))^n $
qualcuno puo' aiutarmi gentilmente?
non so come approcciarmi a questo limite...ho guardato limiti notevoli, hopital, semplificazione, insomma e' tutta la mattina che scrivo ma niente
$ lim_{n \to \infty} 1/2^n * (2+1/(3n))^n $
qualcuno puo' aiutarmi gentilmente?
Risposte
De l'Hpoital e successioni ...non vanno molto d'accordo! Scrivilo cosi:
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n}\left(2+\frac{1}{3n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n}\cdot e^{n\ln \left(2+\frac{1}{3n}\right)}\]
\[\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n}\left(2+\frac{1}{3n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^n}\cdot e^{n\ln \left(2+\frac{1}{3n}\right)}\]
ehm 
non riesco a risolvere comunque nulla
continuo a rigirare tra semplificazioni e ritrovarmi la stessa formula
non riesco a risolvere comunque nulla continuo a rigirare tra semplificazioni e ritrovarmi la stessa formula
Prova così:
$lim_(n->+oo)1/2^n (2+1/(3n))^n=((2+1/(3n))/2)^n=(1+1/(6n))^n=e^(n cdot ln(1+1/(6n)))$
$lim_(n->+oo)1/2^n (2+1/(3n))^n=((2+1/(3n))/2)^n=(1+1/(6n))^n=e^(n cdot ln(1+1/(6n)))$
ma questo limite mi tende a $ 1 $ ...è possibile?
utilizzando WolframAlpha il risultato invece è $ root(6) (e) $
utilizzando WolframAlpha il risultato invece è $ root(6) (e) $
"Brancaleone":
Prova così:
$lim_(n->+oo)1/2^n (2+1/(3n))^n=((2+1/(3n))/2)^n=(1+1/(6n))^n=e^(n cdot ln(1+1/(6n)))$
L'ultima non l'ho capita, ma fatto sta che (riparto dal penultimo)
$\lim_(n \to \infty) (1+ 1/(6n))^n = \lim_(n \to \infty) (((1+ 1/(6n))^n )^6)^(1/6)= \lim_(n \to \infty) ((1+1/(6n))^(6n))^(1/6)$ and so...
Obviously, specifico che se $a>0$, è del tutto lecito porre $a= (a^6)^(1/6)$ come ho fatto, per il resto ho semplicemente sfruttato $(a^n)^6= a^(6n)$ (inutile a questo punto specificare che $a$ nel mio caso è $1+1/(6n)$).
"Zero87":
L'ultima non l'ho capita
Ma come? E'
\[|a|^b = \exp[{b \log{|a|}}]\]
"iMax21":
ma questo limite mi tende a $ 1 $ ...è possibile?
No.
\[n \log \left( 1 + 1/{6n} \right) \approx n \, 1/{6n} \equiv 1/6\]
"giuscri":
[quote="Zero87"]L'ultima non l'ho capita
Ma come? E'
\[|a|^b = \exp[{b \log{|a|}}]\][/quote]
Mi sono evidentemente espresso male, volevo dire "non l'ho capita", nel senso "a cosa serve", tutto qui. Mi sembrava immediato rapportarmi al limite notevole come ho fatto, non avevo capito il perché dell'utilizzo della proprietà del logaritmo.
"Zero87":
Mi sono evidentemente espresso male, volevo dire "non l'ho capita", nel senso "a cosa serve", tutto qui. Mi sembrava immediato rapportarmi al limite notevole come ho fatto, non avevo capito il perché dell'utilizzo della proprietà del logaritmo.
Sì, ammetto che è immediato dal limite notevole... mi sono lasciato trasportare! XD
"Brancaleone":
Sì, ammetto che è immediato dal limite notevole... mi sono lasciato trasportare! XD
L'importante è arrivare alla soluzione... certo magari evitare calcoli chilometrici, ma non è questo il caso perché anche nell'altro metodo sono 2-3 passaggi.
grazie a tutti per gli interventi effettivamente non mi sono accorto del limite notevole ma soprattutto perché sto utilizzando un formulario poco completo 
ora tutto torna, grazie ancora!
effettivamente non mi sono accorto del limite notevole ma soprattutto perché sto utilizzando un formulario poco completo ora tutto torna, grazie ancora!
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