Calcolo limite $xlogx^2$

[simone.sergi.3]

ciao a tutti, non riesco a capire come risolvere questo limite:

$lim_(x->0^-)(xlogx^2)$
il risultato, preso da una prova d'esame degli anni scorsi, è $0^+$ ; a me esce tutt'altro....

Ho ragionato in questo modo:
per la gerarchia degli infinitesimi:
$lim_(x->0^-)(xlogx^2) ~= logx^2$

$lim_(x->0^-) logx^2 = -infty$

ho provato ad applicare la proprietà dei logaritmi portando il 2 (esponente della x) "fuori "dal limite, dato che è una costante, ma in quel caso mi risulta limite non definito.
dove sbaglio??

grazie

[Berationalgetreal]

\[ t = - \frac{1}{x} , \ t \to + \infty \]

il limite diventa

\[ \lim_{ t \to + \infty } {\frac {\ln \left ( \frac{1}{t^2} \right)}{- t}} = \lim_{t \to + \infty} {\frac{ 2 \ln (t)}{t}} = 2 \cdot 0 = 0 \]

[taurus85]

xlogx^2 = 2xlogx 2xlogx $=$ -2x quindi 0 dimostrazione xlogx= logx/(1/x) hopital -(1/x)/(1/x^2)=-1/(1/x)=-x, -x*2=-2x.....

[simone.sergi.3]

grazie mille ad entrambi ora mi è piu' chiara la risoluzione!

tornando al mio svolgimento:
secondo la gerarchia degli infiniti, la stima asintotica $xlogx^2 ~= logx^2$ è concettualmente sbagliata oppure è un metodo non applicabile a questo esercizio??

grazie!

[taurus85]

xlogx^2 $=$ -2x.....

[Berationalgetreal]

"Ilprincipiante":grazie mille ad entrambi ora mi è piu' chiara la risoluzione!

tornando al mio svolgimento:
secondo la gerarchia degli infiniti, la stima asintotica $xlogx^2 ~= logx^2$ è concettualmente sbagliata oppure è un metodo non applicabile a questo esercizio??

grazie!

Due funzioni $ f(x), \ g(x)$si dicono asintotiche per [tex]x \to x_0 \iff \lim_{x \to x_0} {\frac{f(x)}{g(x)}} = l \in \mathbb{R} \setminus \{0\}[/tex]. Quindi la stima di cui parli non è valida, perchè

\[ \lim_{x \to 0} {\frac{x \ln x^2}{\ln x^2}} = \lim_{x \to 0} {x} = 0 \]

oppure, invertendo numeratore e denominatore ([tex]f(x) \sim g(x) \iff g(x) \sim f(x)[/tex], quindi quale funzione vada messa al numeratore e quale al denominatore non importa)

\[ \lim_{x \to 0} {\frac{ \ln x^2}{x \ln x^2}} = \lim_{x \to 0} {\frac{1}{x}} = \infty \]

Dal momento che [tex]0, \ \infty \notin \mathbb{R} \setminus \{0\}[/tex], le funzioni non sono asintotiche, per $x \to 0$.