Calcolo limite su studio di funzione
Ciao a tutti..
Stavo provando a risolvere uno studio di funzione e mi sono bloccata nella parte del calcolo dei limiti per eventuali asintoti... Dando poi un'occhiata nell'esercizio risolto il dubbio si è solo ingigantito
La funzione è questa $f(x)= (x+1)ln^2(x+1)$ e calcolando il dominio trovo che esso è $]-1,+oo[$ e quindi vado a calcolare i limiti agli estremi...
su $lim_(x->-1^+) f(x)$ mi viene consigliato di apportare la sostituzione $ln(x+1)=t$ e quindi $x+1=e^t$ come diretta conseguenza della definizione di logaritmo... Allora per $x->-1^+$ si ha che $e^t->0$ e quindi dal grafico della funzione esponenziale si osserva che $t->-oo$ così il mio limite iniziale diventa $lim_(t->-oo)e^t t^2$ e fin quì nessun problema... Però adesso noto che ottengo la stessa forma indeterminata di prima, ossia $0*oo$ e osservando la risoluzione del testo, il passaggio successivo è $lim_(t->-oo) (t^2)/(e^t)=0^+$... A parte che non mi è chiaro come fa la $e^t$ a passare al denominatore, non capisco come ottiene 0 se $e^t ->0$... Non dovrebbe venire $+oo$ ??
Spero che qualche anima pia possa aiutarmi
Grazie a tutti!
Stavo provando a risolvere uno studio di funzione e mi sono bloccata nella parte del calcolo dei limiti per eventuali asintoti... Dando poi un'occhiata nell'esercizio risolto il dubbio si è solo ingigantito
La funzione è questa $f(x)= (x+1)ln^2(x+1)$ e calcolando il dominio trovo che esso è $]-1,+oo[$ e quindi vado a calcolare i limiti agli estremi...
su $lim_(x->-1^+) f(x)$ mi viene consigliato di apportare la sostituzione $ln(x+1)=t$ e quindi $x+1=e^t$ come diretta conseguenza della definizione di logaritmo... Allora per $x->-1^+$ si ha che $e^t->0$ e quindi dal grafico della funzione esponenziale si osserva che $t->-oo$ così il mio limite iniziale diventa $lim_(t->-oo)e^t t^2$ e fin quì nessun problema... Però adesso noto che ottengo la stessa forma indeterminata di prima, ossia $0*oo$ e osservando la risoluzione del testo, il passaggio successivo è $lim_(t->-oo) (t^2)/(e^t)=0^+$... A parte che non mi è chiaro come fa la $e^t$ a passare al denominatore, non capisco come ottiene 0 se $e^t ->0$... Non dovrebbe venire $+oo$ ??
Spero che qualche anima pia possa aiutarmi
Grazie a tutti!
Risposte
credo che tu abbia letto male la soluzione del testo: $lim_{t to -infty} e^t t^2$ diventa $ lim_{t to +infty} e^{-t} t^2 = lim_{t to +infty} t^2/(e^t) $. a quel punto usi l'hopital, ma ti faccio notare che potevi farlo già dall'inizio
Grazie per aver risposto! 
Ho appena rivisto l'esercizio e mantiene $t-> - oo$ anche dopo il secondo passaggio.. Adesso immagino che ci sia stata una svista e quindi è giusto il ragionamento che hai esposto te...
Io senza fare la sostituzione avevo provato ad applicare de l'hopital ma non era cambiato nulla
Ho appena rivisto l'esercizio e mantiene $t-> - oo$ anche dopo il secondo passaggio.. Adesso immagino che ci sia stata una svista e quindi è giusto il ragionamento che hai esposto te...
Io senza fare la sostituzione avevo provato ad applicare de l'hopital ma non era cambiato nulla
scriveresti come hai fatto più precisamente?
Onestamente avevo pensato di applicarlo ma non mi ritrovavo nelle condizioni del teorema, così ho apportato una modifica per ricondurmi al caso $oo/oo$ o $0/0$ .... Anche perchè provandolo ad applicare forzatamente non cambia nulla...
ovvio che devi ricondurti a un caso del genere, altrimenti non puoi usare l'hopital. se postassi quello che hai fatto..
L'ho postato nel primo post.. La sostituzione $ln(x+1)=t$
ah ho capito. senti ma se hai una cosa del tipo 0*infinito puoi sempre ricondurti a infinito/infinito oppure 0/0, infatti 0 = 1/infinito.
la tua idea non è sbagliata, questo è solo un modo alternativo: nel tuo caso puoi portare al denominatore il fattore x+1, cioè ti verrebbe $lim_{x to -1^+}(ln^2(x+1))/(x+1)^-1$ oppure $lim_{x to -1^+}(x+1)/(ln^(-2)(x+1))$
comunque puoi sempre verificare di aver fatto correttamentre i calcoli, basta disegnare il grafico (puoi usare wolframalpha)
la tua idea non è sbagliata, questo è solo un modo alternativo: nel tuo caso puoi portare al denominatore il fattore x+1, cioè ti verrebbe $lim_{x to -1^+}(ln^2(x+1))/(x+1)^-1$ oppure $lim_{x to -1^+}(x+1)/(ln^(-2)(x+1))$
comunque puoi sempre verificare di aver fatto correttamentre i calcoli, basta disegnare il grafico (puoi usare wolframalpha)
Si infatti.. Meglio aver chiare tutte le possibilità 
Anzi grazie per averla proposta..
Provando a farlo ottengo
$lim_(x->-1^+)(ln^2(x+a))/(x+1)^(-1) = lim_(x->-1^+)[2ln(x+1)* 1/(x+1)/(-1*(x+1)^(-2))]$ e quì semplificando ottengo $lim_(x->-1^+)(-2ln(x+1))/(x+1)^(-1)$ che continua ad essere la forma indeterminata $oo/oo$ se non erro.. Allora riapplico De L'hopital e ottengo alla fine $lim_(x->-1^+)(2(x+1))$ che è uguale a 0... è giusto?
Anzi grazie per averla proposta.. Provando a farlo ottengo
$lim_(x->-1^+)(ln^2(x+a))/(x+1)^(-1) = lim_(x->-1^+)[2ln(x+1)* 1/(x+1)/(-1*(x+1)^(-2))]$ e quì semplificando ottengo $lim_(x->-1^+)(-2ln(x+1))/(x+1)^(-1)$ che continua ad essere la forma indeterminata $oo/oo$ se non erro.. Allora riapplico De L'hopital e ottengo alla fine $lim_(x->-1^+)(2(x+1))$ che è uguale a 0... è giusto?
sì mi pare corretto. come puoi constatare usciva lo stesso risultato col tuo metodo
Si infatti... Non avevo proprio pensato di poter risolvere così... Grazie!!
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