Calcolo limite somma

[francicko]

Sto cercando di calcolare limiti di somme tramite il confronto con integrale, premetto che ancora conosco molto superficialmente l'argomento integrale, quindi non arrabbiatevi se dico eresie!
Il limite che sto cercando di calcolare e' il seguente:
$lim_(n->infty)(1+sqrt (2)+sqrt (3)+........+sqrt(n))/(n× (sqrt(n))$, sempre che abbia calcolato in modo esatto la primitiva di $sqrt (x) $, intuitivamente il valore del limite verrebbe $2/3$, mi sbaglio??
Grazie in anticipo per le risposte!

[ciampax]

Non ho ben capito come procedi. Se usi il teorema di Cesaro il limite precedente equivale al seguente
$$\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n+1}((n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n})}{(n+1)^3-n^3}=$$
usando il confronto locale
$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2}{3n^2}=\frac {2}{3} $$
per cui il risultato è corretto

[francicko]

Mi perdoni nell'eventualita' scriva eresie, ho semplicemente calcolato la primitiva della funzione $sqrtx $ ed calcolato $lim_(n->infty)(2/3)n×(sqrt(n))/(n×(sqrt (n)))=2/3 $, e ' sbagliato?

[Rigel1]

"francicko":Mi perdoni nell'eventualita' scriva eresie, ho semplicemente calcolato la primitiva della funzione $sqrtx $ ed calcolato $lim_(n->infty)(2/3)n×(sqrt(n))/(n×(sqrt (n)))=2/3 $, e ' sbagliato?

No, va bene (anche se andrebbe giustificato).
Parti dalla funzione continua \(f(x) = \sqrt{x}\), \(x\in [0,1]\); sai che le somme di Cauchy-Riemann
\[
\sigma_n := \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n f\left(\frac{j}{n}\right)
\]
convergono, per \(n\to +\infty\), a \(\int_0^1 f(x)\, dx\).
Ora basta osservare che \(\sigma_n\) è esattamente la quantità che compare nel tuo limite.

[ciampax]

Non stavo dicendo che fosse errato... non avevo proprio capito che procedimento stessi seguendo