Calcolo limite notevole
Salve a tutti,
oggi sto ripassando i limiti e sto facendo alcuni esercizi tra cui questo limite:
$ lim_(x -> -oo ) e^xln((e^x-1)/(e^x)) $
So già che c'è un limite notevole di mezzo ma non so come far arrivare la x al denominatore, al inizio mi risulta forma indeterminata $ oo *oo $ ma non so come scomporla ho provato anche con il teorema di De L'Hopital.
oggi sto ripassando i limiti e sto facendo alcuni esercizi tra cui questo limite:
$ lim_(x -> -oo ) e^xln((e^x-1)/(e^x)) $
So già che c'è un limite notevole di mezzo ma non so come far arrivare la x al denominatore, al inizio mi risulta forma indeterminata $ oo *oo $ ma non so come scomporla ho provato anche con il teorema di De L'Hopital.
Risposte
hai una forma di indecisione del tipo $0* oo$, ma tra il logaritmo e l'esponenziale vince l'esponenziale e quindi il limite fa zero.
Forse così ... $ln(1-1/e^x)^(e^x)$
scusate ma ho scritto male sarebbe lim_(x -> oo ) $
$ lim_(x->oo) $
Hai letto il mio suggerimento? Hai capito quale limite notevole devi usare?
se quello è il limite allora con il suggerimento di axpgn è immediato. altrimenti puoi applicare il limite notevole del logaritmo dopo aver osservato che $(e^x -1)/e^x= 1-e^(-x)$
Quel limite non fa zero ...
se consideriamo il primo messaggio che ha postato allora il limite è zero.
con la correzione che ha postato dopo sono d'accordo che non faccia zero ma 1 (come per altro si capisce applicando il limite del logaritmo).
con la correzione che ha postato dopo sono d'accordo che non faccia zero ma 1 (come per altro si capisce applicando il limite del logaritmo).
Ciao cooper,
D'accordo con te che per $x \to -\infty$ il limite proposto vale $0$, ma per $x \to +\infty$ vale $- 1$...
D'accordo con te che per $x \to -\infty$ il limite proposto vale $0$, ma per $x \to +\infty$ vale $- 1$...
Ciao,
ma $x$ può tendere a $-\infty$? Il logaritmo è definito?
$(e^x-1)/e^x >0$ quando (dato che il denominatore è sempre positivo) $e^x-1 >0$ cioè $x>0$
O faccio confusione come mi capita spesso ulitmamente?
ma $x$ può tendere a $-\infty$? Il logaritmo è definito?
$(e^x-1)/e^x >0$ quando (dato che il denominatore è sempre positivo) $e^x-1 >0$ cioè $x>0$
O faccio confusione come mi capita spesso ulitmamente?
Quella funzione è definita solo per $x>0$ quindi non capisco come possa esistere il limite a $-infty$ mentre quello a $+infty$ è $-1$
$ lim_(x->+infty) ln(1-1/e^x)^(e^x)=lim_(x->+infty) ln(1+1/(-e^x))^((-e^x)*(-1))=lim_(x->+infty) ln[(1+1/(-e^x))^((-e^x))]^(-1)=ln e^(-1)=-1ln e=-1$
$ lim_(x->+infty) ln(1-1/e^x)^(e^x)=lim_(x->+infty) ln(1+1/(-e^x))^((-e^x)*(-1))=lim_(x->+infty) ln[(1+1/(-e^x))^((-e^x))]^(-1)=ln e^(-1)=-1ln e=-1$
che il limite faccia -1 in effetti è vero sono stato frettoloso a fare i conti a mente. per il primo logaritmo postato invece non avevo nemmeno notato che $-oo$ fosse fuori dal dominio e mi sono buttato nei conti.
Ciao Ziben,
Giusta osservazione... Diciamo che ho dato per scontato che l'argomento del logaritmo fosse in modulo (che però non c'era...
), altrimenti non sarebbe esistita neanche la forma di indeterminazione $0 \cdot \infty $ inizialmente citata da morositax (che però ha poi successivamente corretto in $x \to +\infty $).
Quindi, riassumendo:
$\lim_{x \to -\infty} e^x \ln|frac{e^x - 1}{e^x}| = 0 $
$\lim_{x \to +\infty} e^x \ln|frac{e^x - 1}{e^x}| = \lim_{x \to +\infty} e^x \ln(frac{e^x - 1}{e^x}) = - 1 $
Corretta naturalmente la soluzione di axpgn, anche se personalmente l'avrei fatta più semplice riconducendomi al limite notevole
$\lim_{t \to +\infty}(1 + frac{-1}{t})^t = e^{-1} $
con $t := e^x $.
Giusta osservazione... Diciamo che ho dato per scontato che l'argomento del logaritmo fosse in modulo (che però non c'era...
), altrimenti non sarebbe esistita neanche la forma di indeterminazione $0 \cdot \infty $ inizialmente citata da morositax (che però ha poi successivamente corretto in $x \to +\infty $).Quindi, riassumendo:
$\lim_{x \to -\infty} e^x \ln|frac{e^x - 1}{e^x}| = 0 $
$\lim_{x \to +\infty} e^x \ln|frac{e^x - 1}{e^x}| = \lim_{x \to +\infty} e^x \ln(frac{e^x - 1}{e^x}) = - 1 $
Corretta naturalmente la soluzione di axpgn, anche se personalmente l'avrei fatta più semplice riconducendomi al limite notevole
$\lim_{t \to +\infty}(1 + frac{-1}{t})^t = e^{-1} $
con $t := e^x $.
Non ho capito molto il vostro procedimento di risoluzione a me porta alla fine $ e^xln(1-e^-x) $ che diventa $ e^xln(1-0) $ e poi $ e^xln1=0 $
arrivato a $ e^xln(1-e^-x) $ ti accorgi del limite notevole del logaritmo $log(1+ epsilon_n) ~ epsilon_n$ per $epsilon_n -> 0$.
così ti viene $e^x(-e^(-x))=-1$
così ti viene $e^x(-e^(-x))=-1$
invece cosa mi dite di questa $ lim_(x->0)(ln(1-3x))/(x) $ io ho provato con il parametro t ma niente
il consiglio che ti do è identico a quello di prima. è lo stesso limite notevole del logaritmo. ma esattamente che passaggi fai con il parametro $t$?
"morositax":
invece cosa mi dite di questa $ lim_(x->0)(ln(1-3x))/(x) $ io ho provato con il parametro t ma niente
Ciao, alla fine si tratta di limiti in cui aguzzare la vista e riportarsi sempre al famoso limite (generalizzato)
$lim_(f(x)-> + \infty) (1\pm 1/(f(x)))^(f(x)) = e^(\pm 1)$
Ho scritto di getto la forma generalizzata e magari ho fatto casino, ma credo che si è capito.
Questi limiti con il logaritmo e la $x$ di fuori, generalmente devono fare aguzzare la vista a tal proposito, soprattutto contando la proprietà $a log(b) = log(b^a)$. Ora, dopo una giornata di lavoro e mezza giornata di viaggio, posso fare confusione con qualche segno (metto palesemente le mani avanti!), ma
$\frac{log(1-3x)}{x} = 1/x \cdot log(1-3x) = 3/(3x) log(1-3x) = 3 log(1-3x)^(1/(3x))$
Hai comunque 2 limiti perché devi considerare il caso in cui $x->0^+$ (dunque $t-> + \infty$) e $x-> 0^-$ (cioè $t-> - \infty$). In entrambi i limiti puoi rapportarti a quello notevole poiché anche nel caso "negativo", puoi porre $y = -t$ e amen.
Che ne dici?
PS. So che fondamentalmente ho scritto quanto detto da piloeffe e axpgn, magari con qualche passaggio in più, però volevo cercare di rendere meglio l'idea.
Io ho fatto così $ lim_(x ->0)ln(1-3x)/(x)=(0)/(0) $ forma indeterminata poi
$ lim_(x ->0)ln(1+ t)/(-(t)/(3) $ ho posto $ t=-3x $ e $ x=-(t)/(3) $
e qui mi son fermata...
$ lim_(x ->0)ln(1+ t)/(-(t)/(3) $ ho posto $ t=-3x $ e $ x=-(t)/(3) $
e qui mi son fermata...
"morositax":
$ lim_(x ->0)ln(1+ t)/(-(t)/(3) $ ho posto $ t=-3x $ e $ x=-(t)/(3) $
e qui mi son fermata...
E' un peccato che ti fermi
Per esempio, puoi togliere quella fastidiosa frazione
$\frac{log(1+t)}{-t/3} = \frac{log(1+t)}{(-1/3) \cdot t} = -3 \cdot (log(1+t))/t$
Non volevo suggerirti così tanto in realtà, ma tante volte prova a dare ordine a ciò che vedi, semplicemente facendo passaggi anche "banali". Metto appunto il termine banali tra virgolette proprio perché esercitando la mente e gli occhi tali passaggi assumono banalità: basta tentare, poi se si sbaglia o non si giunge da nessuna parte, è pur sempre un esercizio di calcolo letterale che resta pur sempre nel cassetto delle proprie abilità.
EDIT. Avevo scordato l'$1$ nell'argomento del logaritmo, ma ho corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo