Calcolo limite, mi dite se vanno bene i vari passaggi?
Salve,
Devo calcolare $L-=lim_{x->0} h1(x):
$h_1(x)=frac{xe^x-x-1+cos x}{x}$
Ho come risultato:
$L=lim_{x->0} frac {x(e^x-1)}{x} -lim_{x->0} frac {1-cos x}{x^2}*x$
Ora volevo capire i vari passaggi per arrivare al risultato e ho fatto:
$L=lim_{x->0} frac{xe^x-x-1+cos x}{x}=lim_{x->0} frac{x(e^x-1-1+cos x)}{x}=lim_{x->0}frac{x(e^x-1)}{x}-frac{x(-1+cos x)}{x}$
$=lim_{x->0}frac{x(e^x-1)}{x}-frac{(-x(1-cos x))}{x}=L=lim_{x->0} frac {x(e^x-1)}{x} - frac {1-cos x}{x}*x$
Non credo che vada bene.. mi potete dire dove sbaglio? Normalmente io non posso vedere il risultato quindi io dovrei scegliere dei limi notevoli e "farli rivenire" attraverso vari passaggi?
Grazie in anticipo.
Edit: Avevo sbagliato a scrivere il risultato lo ho messo apposto
Devo calcolare $L-=lim_{x->0} h1(x):
$h_1(x)=frac{xe^x-x-1+cos x}{x}$
Ho come risultato:
$L=lim_{x->0} frac {x(e^x-1)}{x} -lim_{x->0} frac {1-cos x}{x^2}*x$
Ora volevo capire i vari passaggi per arrivare al risultato e ho fatto:
$L=lim_{x->0} frac{xe^x-x-1+cos x}{x}=lim_{x->0} frac{x(e^x-1-1+cos x)}{x}=lim_{x->0}frac{x(e^x-1)}{x}-frac{x(-1+cos x)}{x}$
$=lim_{x->0}frac{x(e^x-1)}{x}-frac{(-x(1-cos x))}{x}=L=lim_{x->0} frac {x(e^x-1)}{x} - frac {1-cos x}{x}*x$
Non credo che vada bene.. mi potete dire dove sbaglio? Normalmente io non posso vedere il risultato quindi io dovrei scegliere dei limi notevoli e "farli rivenire" attraverso vari passaggi?
Grazie in anticipo.
Edit: Avevo sbagliato a scrivere il risultato lo ho messo apposto
Risposte
devi usare la regola di de L´höpital
"unit1":
$L=lim_{x->0} frac{xe^x-x-1+cos x}{x}=lim_{x->0} frac{x(e^x-1-1+cos x)}{x} ... $
Qua?
"DarioBaldini":
devi usare la regola di de L´höpital
Non serve! Bastano delle considerazioni elementari sull'ordine di infinitesimo del numeratore.
$x ( e^x - 1 )$ e $ 1 - cos(x) $ sono infinitesimi dello stesso ordine (dell'ordine di $x^2$)
Un teorema (non difficile da dimostrare) stabilisce che la differenza di due infinitesimi dello stesso ordine (per $x -> x_0$ ) è di ordine non minore dell'ordine comune.
Al denominatore c'è solo $x$... Cosa ne pensi, unit1?
scusa i presuposti per applicare de l´hospital ci sono .
A me sembra molto piu intuitiva come cosa.
A me sembra molto piu intuitiva come cosa.
unit1, secondo me hai sbagliato la messa in evidenza di x:
Allora:
$h_1(x)=frac{xe^x-x-1+cos(x)}{x}$ che posso spezzare in $frac{xe^x-x}{x}$ e $-frac{1-cos(x)}{x}$.
Nel tuo sviluppo hai moltiplicato la seconda parte per una x che non c'è!!!!
Ciò premesso ottengo:
L=$lim_{x->0}(e^x-1)-lim_{x->0}frac{1-cos(x)}{x}$
Per la prima parte del limite si ha 0.
Per la seconda parte la forma indeterminata 0/0, che elimino con de L´höpital, avendo come risultato 0.
Allora:
$h_1(x)=frac{xe^x-x-1+cos(x)}{x}$ che posso spezzare in $frac{xe^x-x}{x}$ e $-frac{1-cos(x)}{x}$.
Nel tuo sviluppo hai moltiplicato la seconda parte per una x che non c'è!!!!
Ciò premesso ottengo:
L=$lim_{x->0}(e^x-1)-lim_{x->0}frac{1-cos(x)}{x}$
Per la prima parte del limite si ha 0.
Per la seconda parte la forma indeterminata 0/0, che elimino con de L´höpital, avendo come risultato 0.
"pasplu":
unit1, secondo me hai sbagliato la messa in evidenza di x:
Allora:
$h_1(x)=frac{xe^x-x-1+cos(x)}{x}$ che posso spezzare in $frac{xe^x-x}{x}$ e $-frac{1-cos(x)}{x}$.
Nel tuo sviluppo hai moltiplicato la seconda parte per una x che non c'è!!!!
Ciò premesso ottengo:
L=$lim_{x->0}(e^x-1)-lim_{x->0}frac{1-cos(x)}{x}$
Per la prima parte del limite si ha 0.
Per la seconda parte la forma indeterminata 0/0, che elimino con de L´höpital, avendo come risultato 0.
giusto ma comunque non vedo perché spezzare il tutto quando si puö applicare subito de L`höpital
Dario perchè la derivata del numeratore è più lunga ed anche per far capire ad unit1 dove aveva sbagliato. Ciao
Ribadisco: il teorema di De L'Hospital è applicabile; ma perché tirare in ballo le derivate se si può risolvere con qualche misero passaggio algebrico?
Grazie ragazzi per avermi risposto.
le correzioni queste:
$L=lim_{x->0} frac {x(e^x-1)}{x} -lim_{x->0} frac {1-cos x}{x}*x=0*1- frac{1}{2}*0=0$
sono del prof, certo al compito non le avrò e per questo che devo capirle bene.
Seneca, mi interessa il teorema mi spieghi che cosa intendi per "ordine"?
pasplu, mi sembra che il tuo spezzare possa essere un primo passaggio per il risultato o sbaglio?
comunque io sinceramente non sapevo neanche che in matematica si poteva spezzare una frazione come hai fatto tu. Per curiosità se era $...+1+cos(x)$ al posto di $...-1+cos(x)$ veniva: $+ frac{1+cos(x)}{x}$?
Mi dite lo stesso se fra i miei passaggi ho fatto qualche cosa che non è corretto matematicamente?
le correzioni queste:
$L=lim_{x->0} frac {x(e^x-1)}{x} -lim_{x->0} frac {1-cos x}{x}*x=0*1- frac{1}{2}*0=0$
sono del prof, certo al compito non le avrò e per questo che devo capirle bene.
Seneca, mi interessa il teorema mi spieghi che cosa intendi per "ordine"?
pasplu, mi sembra che il tuo spezzare possa essere un primo passaggio per il risultato o sbaglio?
comunque io sinceramente non sapevo neanche che in matematica si poteva spezzare una frazione come hai fatto tu. Per curiosità se era $...+1+cos(x)$ al posto di $...-1+cos(x)$ veniva: $+ frac{1+cos(x)}{x}$?
Mi dite lo stesso se fra i miei passaggi ho fatto qualche cosa che non è corretto matematicamente?
"unit1":
le correzioni queste:
$L=lim_{x->0} frac {x(e^x-1)}{x} -lim_{x->0} frac {1-cos x}{x}*x=0*1- frac{1}{2}*0=0$
Manca un quadrato al denominatore del limite che figura come secondo addendo al secondo membro; insomma dovrebbe essere scritto:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{x(e^x-1)}{x} -\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}\ x$[/tex].
L'idea è quella di spezzare il limite iniziale per poter applicare i due limiti notevoli dell'esponenziale e del coseno.
il quadrato c'è, sono io che ho sbagliato a scrivere: scusatemi
Vediamo se ho capito
$lim_{x->0} frac{xe^x-x-1+cos(x)}{x}=lim_{x->0}frac{xe^x-x}{x}-frac{1+cos(x)}{x}=$
Ora se raccolgo la $x$ al primo membro per farlo diventare $x(e^x-1)$ devo anche moltiplicare gli altri due per $x$?
cosi si giustifica la $x$ finale e nella seconda frazione $x*x=x^2$ è corretto il ragionamento o sbaglio?
$lim_{x->0} frac{xe^x-x-1+cos(x)}{x}=lim_{x->0}frac{xe^x-x}{x}-frac{1+cos(x)}{x}=$
Ora se raccolgo la $x$ al primo membro per farlo diventare $x(e^x-1)$ devo anche moltiplicare gli altri due per $x$?
cosi si giustifica la $x$ finale e nella seconda frazione $x*x=x^2$ è corretto il ragionamento o sbaglio?
Ok... Credo, ci sei quasi.
Sono proprio due passaggi algebrici semplici:
[tex]$\frac{x\ e^x-x-1+\cos x}{x}=\underbrace{\frac{x\ e^x-x}{x} -\frac{1-\cos x}{x}}_{\text{spezzi la frazione}} =\underbrace{x\ \frac{\ e^x-1}{x}}_{\text{raccogli $x$ al num.}} -\underbrace{\frac{1-\cos x}{x^2}\ x}_{\text{moltiplichi e dividi per $x$}}$[/tex]
e poi passi al limite ricordando i limiti fondamentali.
Ovviamente la cosa si può semplificare ancora, perchè puoi semplificare il denominatore nella prima frazione all'ultimo membro.
Sono proprio due passaggi algebrici semplici:
[tex]$\frac{x\ e^x-x-1+\cos x}{x}=\underbrace{\frac{x\ e^x-x}{x} -\frac{1-\cos x}{x}}_{\text{spezzi la frazione}} =\underbrace{x\ \frac{\ e^x-1}{x}}_{\text{raccogli $x$ al num.}} -\underbrace{\frac{1-\cos x}{x^2}\ x}_{\text{moltiplichi e dividi per $x$}}$[/tex]
e poi passi al limite ricordando i limiti fondamentali.
Ovviamente la cosa si può semplificare ancora, perchè puoi semplificare il denominatore nella prima frazione all'ultimo membro.
OK, credo di aver capito. Comunque, in generale io devo vedere ad occhio quali possono essere i limiti notevoli che posso utilizzare e "farli tornare" usando passaggi matematici, giusto?
Esatto.
Ok, grazie 1000. Mi siete stati tutti di grande aiuto 
Un ultima domanda, scusate.
Ma mi sbaglio o siccome c'è $cos x$ la funzione è definita da ]-1,1[ tranne per x=0?
Ma mi sbaglio o siccome c'è $cos x$ la funzione è definita da ]-1,1[ tranne per x=0?
"unit1":
Un ultima domanda, scusate.
Ma mi sbaglio o siccome c'è $cos x$ la funzione è definita da ]-1,1[ tranne per x=0?
Ti sbagli. Il coseno è definito su tutto l'asse reale.
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