Calcolo limite funzione inversa in un intorno
Buon pomeriggio,
stavo svolgendo alcuni esercizi e mi è capitato sotto mano un quesito che mi ha dato seri dubbi sul suo corretto svolgimento.
Ve lo posto:
La funzione $ f(x) = (4/x)+ log sqrt(x) $ è invertibile su un opportuno intorno al punto x = 1
Detta z(y) la sua funzione inversa a valore in tale intorno, calcolare $ lim_(y->2) (z(y) - 1)/log(y-1) $
Ora, sono rimasta un pò perplessa sullo svolgimento in quanto non capisco se devo prima calcolarmi l'inversa della funzione f(x) e poi calcolare la funzione inversa nel punto ed infine il limite oppure calcolarmi la derivata nel punto dell'intorno e con questo risultato procedere con il calcolo del limite.
Grazie mille per il vostro aiuto.
stavo svolgendo alcuni esercizi e mi è capitato sotto mano un quesito che mi ha dato seri dubbi sul suo corretto svolgimento.
Ve lo posto:
La funzione $ f(x) = (4/x)+ log sqrt(x) $ è invertibile su un opportuno intorno al punto x = 1
Detta z(y) la sua funzione inversa a valore in tale intorno, calcolare $ lim_(y->2) (z(y) - 1)/log(y-1) $
Ora, sono rimasta un pò perplessa sullo svolgimento in quanto non capisco se devo prima calcolarmi l'inversa della funzione f(x) e poi calcolare la funzione inversa nel punto ed infine il limite oppure calcolarmi la derivata nel punto dell'intorno e con questo risultato procedere con il calcolo del limite.
Grazie mille per il vostro aiuto.
Risposte
Ciao,
calcolare esplicitamente l'inversa non è una buona strada (è pressoché impossibile). ragioniamo sul limite.
Teniamo presente che $f$ è invertibile quindi iniettiva in un intorno di $x=1$ e che è continua su un intervallo e quindi anche $f^(-1)$ è continua
$log(y-1) -> 0$ per $y->2$; Il limite che devi calcolare allora ti darà problemi se anche il denominatore tende a $0$ oppure se va a infinito. Vediamo se questo può accadere.
Ricordando che $z(y)=x$ perché $z=f^(-1)$, allora $z(y)$ non tende all'infinito perché vorrebbe dire che $x-> \infty$ ma siamo in un intorno di $x=1$. Quindi il numeratore del limite che devi calcolare rimane finito. Rimane da vedere se $z(y)->1$ per $y->2$; ma $y=4$ per $x=1$ pertanto $z(y)->1$ se $y->4$.
Il numeratore rimane pertanto finito e diverso da $0$. Il tuo limite va all'infinito. Non ti resta che stabilire se è $+\infty$ o $-\infty$
calcolare esplicitamente l'inversa non è una buona strada (è pressoché impossibile). ragioniamo sul limite.
Teniamo presente che $f$ è invertibile quindi iniettiva in un intorno di $x=1$ e che è continua su un intervallo e quindi anche $f^(-1)$ è continua
$log(y-1) -> 0$ per $y->2$; Il limite che devi calcolare allora ti darà problemi se anche il denominatore tende a $0$ oppure se va a infinito. Vediamo se questo può accadere.
Ricordando che $z(y)=x$ perché $z=f^(-1)$, allora $z(y)$ non tende all'infinito perché vorrebbe dire che $x-> \infty$ ma siamo in un intorno di $x=1$. Quindi il numeratore del limite che devi calcolare rimane finito. Rimane da vedere se $z(y)->1$ per $y->2$; ma $y=4$ per $x=1$ pertanto $z(y)->1$ se $y->4$.
Il numeratore rimane pertanto finito e diverso da $0$. Il tuo limite va all'infinito. Non ti resta che stabilire se è $+\infty$ o $-\infty$
Grazie mille per il tuo aiuto!
Non avendo mai risolto un esercizio di questo tipo, mi ha un pò spiazzato! Quindi in breve, mi basta solo andare a ragionare sul limite e vedere caso per caso se è continua giusto?
Non avendo mai risolto un esercizio di questo tipo, mi ha un pò spiazzato! Quindi in breve, mi basta solo andare a ragionare sul limite e vedere caso per caso se è continua giusto?
In questo caso la continuità dell'inversa ti è garantita da un teorema dato che inverti una funzione continua su un intervallo (un intorno è un intervallo). Quello che ti importa in questo esercizio, dato che il denominatore del limite che vuoi calcolare, va a $0$, è vedere se può essere una forma indeterminata $0/0$
"Ziben":
In questo caso la continuità dell'inversa ti è garantita da un teorema dato che inverti una funzione continua su un intervallo (un intorno è un intervallo). Quello che ti importa in questo esercizio, dato che il denominatore del limite che vuoi calcolare, va a $0$, è vedere se può essere una forma indeterminata $0/0$
Ok grazie mille!
"TeM":
Secondo me, l'esercizio posto in questi termini non ha alcun senso didattico.
D'altro canto, dato l'intervallo \(I := (0,\,4)\) e data la funzione \(f : I \to \mathbb{R}\), definita da \[ f(x) := \frac{2}{x} + \log\sqrt{x}\,, \] trattandosi di una funzione continua in \(I\) e tale che \[ f'(x) = -\frac{2}{x^2} + \frac{1}{2\,x} < 0 \; \; \; \forall\,x \in I\,, \] ossia strettamente monotona (decrescente) in \(I\), segue che \(f\) è invertibile in \(I\).
Alla luce di ciò, essendo \(f\) una funzione continua e invertibile in \(I\), per il teorema di derivazione della
funzione inversa, se esiste \(f'(x_0)\), allora esiste anche la derivata di \(f^{-1}\) nel punto \(y_0 = f(x_0)\) e si ha \[ \left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\,. \] Ebbene, avendo ben presente tale fatto, segue che \[ \lim_{y \to 2} \frac{f^{-1}(y) - 1}{\log(y - 1)} \overset{H}{=} \lim_{y \to 2} \frac{\left(f^{-1}\right)'(y)}{\frac{1}{y - 1}} = (2 - 1)\,\left(f^{-1}\right)'(2) = \frac{1}{f'(1)} = -\frac{2}{3}\,, \] dove si è applicato il teorema di de l'Hôpital essendo presente una forma indeterminata del tipo \(0/0\).
Ecco, un esercizio in questi termini lo reputo molto interessante, in quanto mette in luce il fatto che
seppur la funzione inversa esiste non è detto che sia esprimibile tramite funzioni elementari (anzi, lo
è solo in rari casi), ma ciò non toglie che si possa calcolare la derivata in alcuni punti specifici e quindi
poter calcolare limiti di quel tipo tramite il teorema di l'Hôpital oppure sviluppando in serie di Taylor.
Quindi sarebbe meglio procedere in questo modo?
Perchè tecnicamente dovrei lavorare con derivate e poi calcolare il limite...
Ecco, vedi, ho sbagliato tutto 
Ero convinto di aver ragionato bene e che quel limite non fosse una forma indeterminata, perché imponevo $z(y)=x$ e dato che per $x=1$ ho $y=4$; ho supposto (ragionandoci ovvio) che $z(2) \ne 1$ dato $z(4)=1$. Non mi sono neanche scomodato a pensare a de l'Hôpital
Ero convinto di aver ragionato bene e che quel limite non fosse una forma indeterminata, perché imponevo $z(y)=x$ e dato che per $x=1$ ho $y=4$; ho supposto (ragionandoci ovvio) che $z(2) \ne 1$ dato $z(4)=1$. Non mi sono neanche scomodato a pensare a de l'Hôpital
ah già è vero hai messo un $2$ al posto del $4$. Valà pensavo di dover buttar via tutto. 
Tra l'altro avevo notato che il numeratore rimane sempre positivo mentre il numeratore cambia il segno nell'intorno di $y=2$. Poi stupidamente me lo sono scordato.
Tra l'altro avevo notato che il numeratore rimane sempre positivo mentre il numeratore cambia il segno nell'intorno di $y=2$. Poi stupidamente me lo sono scordato.
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