Calcolo limite funzione integrale con Hopital

[Maxo1]

Ciao ragazzi! ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un limite di un integrale che è stato proposto dal mio professore di analisi per l'esame orale.

$ lim_(x -> 0+) (int_(0)^(sinx) t^3cos(t)dt)/x^5 $

Applicando il teorema di Hopital sopra e sotto ottengo

$ lim_(x -> 0+) ((sinx)^3cos(sinx)cosx)/(5x^4) $

a questo punto, poichè x tende a 0, applico il criterio asintotico e quindi sinx è asintotico a x per x che tende a 0

$ lim_(x -> 0+) ((x)^3cos(x)cosx)/(5x^4) $

$ lim_(x -> 0+) (cosx)^2/(5x) $

e tale limite a questo punto viene piu infinito.

é corretto il ragionamento o sto sbagliando?

spero di essere stato chiaro e attendo risposta il più velocemente possibile(domani ho l'orale )

grazie

[ciampax]

Mi sembra tutto corretto.

[Plepp]

Alternativamente, potresti osservare che
\[F(x):=\int^x_0 t^3\cos(t)\,\text{d}t\]
è infinitesima di ordine $4$, mentre $\sin x$ è infinitesima di ordine $1$, e di conseguenza la composizione $(F\circ\sin) (x)$ è infinitesima di ordine $4\cdot 1=4$. Da qui puoi trarre immediatamente la conclusione