Calcolo limite-forma indeterminata
devo calcolare il seguente limite:
$ lim_(x ->oo )( (x^2+3x)/(x^2-5x))^(x+logx $
io attraverso l'uso di alcune equivalenze asintotiche sono risuscito a semplificare un po' il limite ma cosi facendo ottengo una Forma indeterminata...ecco come ho proceduto:
1)mi sono ricordato che in presenza di un polinomio in un limite per x che tende a infinito conta solo il termine di grado massimo.
2) quando ho una somma di due infiniti di ordine diverso posso trascurare quello di ordine inferiore,che cioè tende a zero meno velocemente.
Perciò:
$ lim_(x ->oo )( (x^2+3x)/(x^2-5x))^(x+logx)= lim_(x ->oo ) (x^2/x^2)^x = 1^oo $
qualche aiuto?
grazie!!!
$ lim_(x ->oo )( (x^2+3x)/(x^2-5x))^(x+logx $
io attraverso l'uso di alcune equivalenze asintotiche sono risuscito a semplificare un po' il limite ma cosi facendo ottengo una Forma indeterminata...ecco come ho proceduto:
1)mi sono ricordato che in presenza di un polinomio in un limite per x che tende a infinito conta solo il termine di grado massimo.
2) quando ho una somma di due infiniti di ordine diverso posso trascurare quello di ordine inferiore,che cioè tende a zero meno velocemente.
Perciò:
$ lim_(x ->oo )( (x^2+3x)/(x^2-5x))^(x+logx)= lim_(x ->oo ) (x^2/x^2)^x = 1^oo $
qualche aiuto?
grazie!!!
Risposte
Se lo trasformi in un esponenziale e, dopo aver sviluppato in serie la funzione razionale fratta (che diverrà argomento del logaritmo), usi lo sviluppo in serie per il logaritmo, vedrai che tutto diventa semplice.
Alternativamente se, sempre dopo aver riscritto la funzione razionale fratta con uno sviluppo in serie (primi due termini), ricordi il limite notevole relativo al numero di Nepero (sua definizione) nella sua forma più generale, ovvero non con il solo reciproco di x ma con il reciproco di una generica f(x), fai ancora prima.
Alternativamente se, sempre dopo aver riscritto la funzione razionale fratta con uno sviluppo in serie (primi due termini), ricordi il limite notevole relativo al numero di Nepero (sua definizione) nella sua forma più generale, ovvero non con il solo reciproco di x ma con il reciproco di una generica f(x), fai ancora prima.
ma quindi non c'è un metodo per risolverla senza applicare l'esponenziale e il logaritmo?
$ lim_(x ->oo )( (x^2+3x)/(x^2-5x))^(x+logx )=lim_(x ->oo )((x^2(1+3/x))/(x^2(1-5/x)))^x= lim_(x ->oo )(((1+3/x))/((1-5/x)))^x $
ora ho provato a farla riconducendomi al limite notevole associato al numero di nepero,seguendo il secondo metodo consigliato...ma ora cosa devo fare per applicare il limite notevole correttamente? faccio un cambiamento di variabili? lo applico sopra e sotto?
grazie!!
$ lim_(x ->oo )( (x^2+3x)/(x^2-5x))^(x+logx )=lim_(x ->oo )((x^2(1+3/x))/(x^2(1-5/x)))^x= lim_(x ->oo )(((1+3/x))/((1-5/x)))^x $
ora ho provato a farla riconducendomi al limite notevole associato al numero di nepero,seguendo il secondo metodo consigliato...ma ora cosa devo fare per applicare il limite notevole correttamente? faccio un cambiamento di variabili? lo applico sopra e sotto?
grazie!!
Se semplifichiamo la funzione razionale fratta come segue
$\frac{x^2+3x}{x^2-5x}=1+ \frac{8}{x-5} $
poi possiamo concludere che
$\lim_{x \to \infty }(1+\frac{8}{x-5} )^x= \lim_{x \to \infty }(1+\frac{8}{x} )^x= \lim_{y \to \infty }(1+\frac{1}{y} )^{8y}$
e quindi ...
$\frac{x^2+3x}{x^2-5x}=1+ \frac{8}{x-5} $
poi possiamo concludere che
$\lim_{x \to \infty }(1+\frac{8}{x-5} )^x= \lim_{x \to \infty }(1+\frac{8}{x} )^x= \lim_{y \to \infty }(1+\frac{1}{y} )^{8y}$
e quindi ...
prima di darti un risultato volevo sapere che sviluppo hai fatto su quella funzione razionale fratta...
anche perche se non sbaglio il limite è infinito e quindi bisognerebbe calcolare taylor in un intorno di infinito(cosa non fattible?!)
grazie!!
anche perche se non sbaglio il limite è infinito e quindi bisognerebbe calcolare taylor in un intorno di infinito(cosa non fattible?!)
grazie!!
"xshadow":
prima di darti un risultato volevo sapere che sviluppo hai fatto su quella funzione razionale fratta...
Ho semplicemente sommato e sottratto $8x$ a numeratore .
L'idea iniziale era quella dello sviluppo,
$1+\frac{8}{x}+\frac{40}{x^2}+ ...$
... ma poi ho pensato che bastava anche meno.
ah già è vero!! allora domani provo a finirlo...grazie mille per il momento!!
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