Calcolo limite di successioni

[valerio19961]

Ciao a tutti sto cercando di risolvere due limiti che mi stanno mettendo in difficoltà specialmente il primo
anche disegnando il grafico su geogebra non riesco a ipotizzare quale possa essere il limite dato oltre un certo valore
il grafico si arresta avete qualche suggerimento ?

1) $lim_(n->infty)( n^3 + 4 )/(n + log((n)^2 + e^((n)^3))$

2) $lim_(n->infty)(n - sin(n^3))/(n^2 + cos(n^7))$

[gugo82]

Quali sono le difficoltà?

[valerio19961]

per quanto riguarda il primo limite ho ragionato in questo modo

ho considerato solo $lim_(n->infty) (n^3)/(n + log((n)^2 + e^((n)^3))$ poichè la seconda parte della somma ossia

$(4)/(n + log((n)^2 + e^((n)^3))$ tende a 0

poi ho visto che $(n + log((n)^2 + e^((n)^3))$ è asintotico a $(log(e^((n)^3))$

di conseguenza il limite di $lim_(n->infty) (n^3)/(n + log((n)^2 + e^((n)^3))$ è ridotto a $lim_(n->infty) (n^3)/(log(e^((n)^3))$

che dovrebbe essere il valore $1/log(e) $ tuttavia non capisco se il risultato è giusto poichè nel grafico appunto la funzione
si interrompe

nel secondo invece non capisco se il limite esista o meno dato che le funzioni sin e cos sono oscillanti...

[gugo82]

Scusa, quanto fa \(\log e\)?

Ad ogni modo, il risultato è giusto.

Per il secondo, è vero che $\sin$ e $\cos$ oscillano, ma è pur vero che sono limitate, dunque...

[valerio19961]

allora $log(e)$ l ho lasciato cosi perchè l esercizio non specifica la base ( io pensavo base 10)

per il secondo potrebbe essere che ? :

$(n -sin(n^3))$ è asintotico a n poichè $lim_(h->infty)(n-sin(n^3))/(n)$ è $1$

dato che $(sin(n^3))/n$ tende a $0$ poiche $ -1
stesso discorso per $cos(n^7)$ quindi il limite sarebbe $(n)/(n^2) $ che quindi risulta $0$

[cooper1]

è corretto anche il secondo limite. per quanto riguarda invece il logaritmo in genere lo si suppone sempre in base e.