Calcolo limite di successione senza De L'Hopital
Salve a tutti,
è da alcuni giorni che mi scervello su come poter calcolare il seguente limite senza fare usa del teorema di De L'Hopital
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2\left [ e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]$$
Ho fatto diversi tentativi vani che riassumo qui sotto:
1) Trasformare il limite come
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{\ln n^2\left [ e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]}$$
e applicare le proprietà dei logaritmi.
2) Trasformare solo parte del limite ossia
$$\left (1+\frac{1}{n}\right )^n=e^{\ln \left (1+\frac{1}{n}\right )^n}$$
e applicare al solito le proprietà dei logaritmi.
3) Usare il teorema del confronto partendo dal fatto che
$$2 < \left (1+\frac{1}{n}\right )^n < 3$$
Come detto sopra nessuna di queste strade mi porta a sciogliere la forma indeterminata. Avete altre idee?
è da alcuni giorni che mi scervello su come poter calcolare il seguente limite senza fare usa del teorema di De L'Hopital
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2\left [ e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]$$
Ho fatto diversi tentativi vani che riassumo qui sotto:
1) Trasformare il limite come
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}e^{\ln n^2\left [ e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]}$$
e applicare le proprietà dei logaritmi.
2) Trasformare solo parte del limite ossia
$$\left (1+\frac{1}{n}\right )^n=e^{\ln \left (1+\frac{1}{n}\right )^n}$$
e applicare al solito le proprietà dei logaritmi.
3) Usare il teorema del confronto partendo dal fatto che
$$2 < \left (1+\frac{1}{n}\right )^n < 3$$
Come detto sopra nessuna di queste strade mi porta a sciogliere la forma indeterminata. Avete altre idee?
Risposte
Ciao mbistato,
Sì, userei la disuguaglianza $e^x > 1 + x $ per $ x:= 1/n > 0 $:
$ e^{1/n} > (1+\frac{1}{n}) $
$ e > (1+\frac{1}{n})^n $
$ e - (1+\frac{1}{n})^n > 0 $
Perciò in definitiva si ha:
$ lim_{n \to +\infty} n^2 [e - (1+\frac{1}{n})^n] = +\infty $
"mbistato":
Avete altre idee?
Sì, userei la disuguaglianza $e^x > 1 + x $ per $ x:= 1/n > 0 $:
$ e^{1/n} > (1+\frac{1}{n}) $
$ e > (1+\frac{1}{n})^n $
$ e - (1+\frac{1}{n})^n > 0 $
Perciò in definitiva si ha:
$ lim_{n \to +\infty} n^2 [e - (1+\frac{1}{n})^n] = +\infty $
Ciao pilloeffe e grazie per la risposta
Sono dubbioso sul fatto che se prendessimo in esame il limite
$$\lim_{n\to +\infty}n\left [e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]$$
non sarebbe possibile rifare il tuo ragionamento perché quest'ultimo limite risulta $e/2$.
Sono dubbioso sul fatto che se prendessimo in esame il limite
$$\lim_{n\to +\infty}n\left [e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]$$
non sarebbe possibile rifare il tuo ragionamento perché quest'ultimo limite risulta $e/2$.
Ma quest'ultimo limite lo sai calcolare senza de l'Hopital?
Comunque l'ultimo passaggio che ha fatto pilloeffe non è giustificato perché c'è una forma $\+infty*0$.
Comunque l'ultimo passaggio che ha fatto pilloeffe non è giustificato perché c'è una forma $\+infty*0$.
Ma il teorema di De l’hopital con le successioni? 
Penso che senza l'uso di Hopital od Taylor non sia fattibile, in quanto vi è il coinvolgimento di termini successivi al primo grado in $1/n $ $log (1+1/n)=1/n+o (1/n) $ si può scrivere come $lim_(x->0)(e-(1+x)^(1/x))/x^2$ ed applicare Hopital
Sì scusate, avete ragione, per la fretta non ho scritto che in realtà sempre con la disuguaglianza citata o con la sua versione logaritmica $ln(1 + x) \le x $ si potrebbe dimostrare che $\AA n \ge 1 $ si ha:
$e - (1 + 1/n)^n \ge frac{e}{2n + 2} > 0 $
Quindi il limite proposto vale in effetti $+\infty $ come ho scritto.
La domanda di otta96 è lecita: se sai calcolare $lim_{n \to +\infty} n[e - (1 + 1/n)^n] = e/2 $ allora quello proposto è immediato...
$e - (1 + 1/n)^n \ge frac{e}{2n + 2} > 0 $
Quindi il limite proposto vale in effetti $+\infty $ come ho scritto.
"otta96":
Ma quest'ultimo limite lo sai calcolare senza de l'Hopital?
La domanda di otta96 è lecita: se sai calcolare $lim_{n \to +\infty} n[e - (1 + 1/n)^n] = e/2 $ allora quello proposto è immediato...
"pilloeffe":
Sì scusate, avete ragione, per la fretta non ho scritto che in realtà sempre con la disuguaglianza citata o con la sua versione logaritmica $ln(1 + x) \le x $ si potrebbe dimostrare che $\AA n \ge 1 $ si ha:
$e - (1 + 1/n)^n \ge frac{e}{2n + 2} > 0 $
Ci arrivi con il principio di induzione?
In realtà non ci sono arrivato così, ma non escludo che si possa dimostrare anche col principio di induzione: il passo iniziale per $n = 1 $ è semplice da verificare...
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