Calcolo limite con sostituzione variabile e uso di limiti notevoli
Salve, chiedo una mano per risolvere il seguente limite, sembra abbastanza semplice ma stranamente non riesco a continuare.
$\lim_{x \to 1}(((e^(x^2-1)-1)*sin(\pi/(2x)))/(1-cos(x^2-1)))$
Pongo $x^2-1=y$
Con il seno però non so come comportarmi, bisogna ricavare il valore della $x$ partendo dall'espressione di $y$ posta prima? Oppure bisogna lasciarlo intatto e quindi considerarlo semplicemente come $sin(\pi/2)$ che in questo caso dovrebbe valere $1$?
$\lim_{x \to 1}(((e^(x^2-1)-1)*sin(\pi/(2x)))/(1-cos(x^2-1)))$
Pongo $x^2-1=y$
Con il seno però non so come comportarmi, bisogna ricavare il valore della $x$ partendo dall'espressione di $y$ posta prima? Oppure bisogna lasciarlo intatto e quindi considerarlo semplicemente come $sin(\pi/2)$ che in questo caso dovrebbe valere $1$?
Risposte
sei sicuro/a sia questo il limite?
usando i limiti notevoli, per $x->1$ sai che
$e^(x^2-1)-1 ~ x^2-1$
$1-cos(x^2-1)~1/2 (x^2-1)^2$
inoltre $sin(pi/(2x)) -> 1$
dunque il limite diventa il limite di $2/(x^2-1)$ che però non è definito perchè è del tipo $a/0$
sappiamo che divergerà ma non se divergerà positivamente o negativamente.
usando i limiti notevoli, per $x->1$ sai che
$e^(x^2-1)-1 ~ x^2-1$
$1-cos(x^2-1)~1/2 (x^2-1)^2$
inoltre $sin(pi/(2x)) -> 1$
dunque il limite diventa il limite di $2/(x^2-1)$ che però non è definito perchè è del tipo $a/0$
sappiamo che divergerà ma non se divergerà positivamente o negativamente.
Si, il limite è scritto correttamente, è tratto da un prova di esame di analisi matematica. Il docente se non erro tempo fa disse che bisognava trasformare il termine $x^2-1$ in modo tale che $y -> 0$ per poter applicare i limiti notevoli.
va bhe sostituisci o meno i limiti da usare sono quelli che ho già scritto (per applicarli basta riconoscere che il termine che interessa è infinitesimo e lo è anche $x^2-1$ senza bisogno di sostituire)
mi rimane ancora il dubbio sul cosa accada. l'analisi che io farei è questa. potresti anche concludere che "diverge" ($oo$) ma non mi sembra proprio corretto. hai per caso le soluzioni?
mi rimane ancora il dubbio sul cosa accada. l'analisi che io farei è questa. potresti anche concludere che "diverge" ($oo$) ma non mi sembra proprio corretto. hai per caso le soluzioni?
Non ho soluzioni purtroppo. Neanche il calcolatore elettronico online da soluzioni (symbolab). Eppure a detta del docente il limite era semplice da risolvere. Magari non si potrebbe lasciare la quantità del seno così com'è, senza toccarla? $sin(\pi/(2x))$ per $x->1$ fa $1$. Gli altri termini invece pensavo di sostituire semplicemente come detto prima e procedere con i limiti notevoli, questa procedura è sbagliata?
"GlassPrisoner91":
Eppure a detta del docente il limite era semplice da risolvere.
di per sè non è difficile ma non trovo una conclusione accettabile.
"GlassPrisoner91":
Magari non si potrebbe lasciare la quantità del seno così com'è, senza toccarla? sin(π2x) per x→1 fa 1.
e questo è l'unico punto che mi consola del limite
"GlassPrisoner91":
Gli altri termini invece pensavo di sostituire semplicemente come detto prima e procedere con i limiti notevoli, questa procedura è sbagliata?
se lo fai devi sostituire anche la x del seno. ad ogni modo non è sbagliato quello che fai, è quello che implicitamente ho fatto io nelle stime asintotiche che ho fatto in qualche post precedente. il problema comunque non si risolve mi pare perchè arriveresti ad avere (facendo la sostituzione $y := x^2 -1$):
$lim_(y->0) 2/y$ che ha lo stesso problema della formula che ho scritto io
Riprendo questa discussione sperando di trovare una soluzione certa a questo limite. Praticamente per ora ho fatto questo ragionamento: ho posto $x^2-4=y$
Quindi ho riscritto il limite in questo modo:
$\lim_{y \to 0} (((e^y-1)*sin(-pi/sqrt(y+4)))/(1-cosy))$
...da notare che ho ricavato $x$ come $sqrt(y+4)$
A questo punto mi riconduco ai limiti notevoli:
$\lim_{y \to 0} (e^y-1)/y * y * sin(-pi/sqrt(y+4)) * 1/((1-cosy)/y*y)$
Ora... se il ragionamento non è sbagliato, il tutto è uguale a:
$1*0*(-pi/2)*\infty$
Che ne dite?
Quindi ho riscritto il limite in questo modo:
$\lim_{y \to 0} (((e^y-1)*sin(-pi/sqrt(y+4)))/(1-cosy))$
...da notare che ho ricavato $x$ come $sqrt(y+4)$
A questo punto mi riconduco ai limiti notevoli:
$\lim_{y \to 0} (e^y-1)/y * y * sin(-pi/sqrt(y+4)) * 1/((1-cosy)/y*y)$
Ora... se il ragionamento non è sbagliato, il tutto è uguale a:
$1*0*(-pi/2)*\infty$
Che ne dite?
a parte alcune imprecisioni il ragionamento è corretto ed è quello che ho fatto già nel primo messaggio. le imprecisioni:
1. hai fatto diventare l'argomento del seno negativo quando non lo è
2. alla fine rimane $sin(pi/sqrt(y+4))$
3. all'inizio hai posto probabilmente $x^2-1=y$ e non $x^2-4$
4. il limite notevole del coseno non è quello ma ha al denominatore $y^2$
al di là di questo.....
arriveresti ad avere (tralasciando completamente qualunque barlume di formalità) $1 * sin(pi/2) * 1/0 = 1*1*1/0=1/0$
il problema è quest'ultimo termine: io direi a questo punto che il limite non esiste. è vero che sappiamo che quella quantità è infinita ma non ne possiamo conoscere il segno.
se sei sicuro che nel limite di partenza tu non avessi qualcosa del tipo $x->1^(+-)$ la soluzione che proporrei io è: il limite proposto non esiste.
1. hai fatto diventare l'argomento del seno negativo quando non lo è
2. alla fine rimane $sin(pi/sqrt(y+4))$
3. all'inizio hai posto probabilmente $x^2-1=y$ e non $x^2-4$
4. il limite notevole del coseno non è quello ma ha al denominatore $y^2$
al di là di questo.....
arriveresti ad avere (tralasciando completamente qualunque barlume di formalità) $1 * sin(pi/2) * 1/0 = 1*1*1/0=1/0$
il problema è quest'ultimo termine: io direi a questo punto che il limite non esiste. è vero che sappiamo che quella quantità è infinita ma non ne possiamo conoscere il segno.
se sei sicuro che nel limite di partenza tu non avessi qualcosa del tipo $x->1^(+-)$ la soluzione che proporrei io è: il limite proposto non esiste.
Si, scusami nel post non l'ho specificato. In realtà l'esercizio che ho svolto oggi era praticamente quasi identico a quello del post iniziale ma con il limite di $x$ tendente a $-2$ e qualche quantità leggermente diversa. Per non creare confusione ecco la traccia giusta dell'esercizio di oggi:
$\lim_{x \to -2} (((e^(x^2-4)-1)sin(-pi/x))/(1-cos(x^2-4)))$
...tuttavia credo che il risultato sia lo stesso (se non sbaglio), e cioè limite che non c'è.
$\lim_{x \to -2} (((e^(x^2-4)-1)sin(-pi/x))/(1-cos(x^2-4)))$
...tuttavia credo che il risultato sia lo stesso (se non sbaglio), e cioè limite che non c'è.
"GlassPrisoner91":
tuttavia credo che il risultato sia lo stesso (se non sbaglio), e cioè limite che non c'è.
Concordo anche io con questa soluzione.. Vediamo se magari qualcun altro vuole aggiungersi e dare la sua opinione
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