Calcolo limite con integrale
Data la funzione :
$f(x)=\int_0^xsint/tdt$
Dimostrare che esiste il limite finito di:
$\lim_(x->0^-)(2f(x)-f(2x))/(x-f(x))$
Ed eventualmente calcolarlo... ma come faccio se non trovo prima la primitiva? Oppure devo prima capire se converge?!
$f(x)=\int_0^xsint/tdt$
Dimostrare che esiste il limite finito di:
$\lim_(x->0^-)(2f(x)-f(2x))/(x-f(x))$
Ed eventualmente calcolarlo... ma come faccio se non trovo prima la primitiva? Oppure devo prima capire se converge?!
Risposte
Ciao zio_mangrovia,
Potresti provare con la regola di De l'Hopital...
Potresti provare con la regola di De l'Hopital...
Ci avevo pensato ma dovrei dimostrare che è una forma indeterminata no?
Che mi pare piuttosto evidente, cosa fa $\lim_{x to 0^-} f(x)$?
Se non sbaglio verrebbe $\lim_(x->0^-)\int_0^xsint/tdt$ quindi $\lim_(x->0^-)\int_0^(0^-)sint/tdt$ $=0$ ?
So che $\int_a^af(t)dt=0$ ma ho escluso questa possibilità in quanto l'estremo non era proprio $0$ ma $0^-$ e quindi non lo stesso valore identico, dove sbaglio?
So che $\int_a^af(t)dt=0$ ma ho escluso questa possibilità in quanto l'estremo non era proprio $0$ ma $0^-$ e quindi non lo stesso valore identico, dove sbaglio?
"pilloeffe":
Ciao zio_mangrovia,
Potresti provare con la regola di De l'Hopital...
Buona idea.
"Bremen000":
Mi pare piuttosto evidente, cosa fa $ \lim_{x to 0^-} f(x) $?
"zio_mangrovia":
Se non sbaglio verrebbe $ \lim_(x->0^-)\int_0^xsint/tdt $ quindi $ \lim_(x->0^-)\int_0^(0^-)sint/tdt $ $ =0 $ ?
So che $ \int_a^af(t)dt=0 $ ma ho escluso questa possibilità in quanto l'estremo non era proprio $ 0 $ ma $ 0^- $ e quindi non lo stesso valore identico, dove sbaglio?
Fa $0$. Il simbolo "$-$" posto all'apice dello $0$ indica come si raggiunge questo limite, in questo caso per difetto.
Infine aggiungo il consiglio di usare il buon vecchio teorema fondamentale dell'analisi.
ID
Ciao zio_mangrovia,
La tua funzione $f(x)$ è più nota col nome di $Si(x)$, funzione seno integrale. Si tratta di una funzione dispari (cioè $Si(-x) = - Si(x)$, lo puoi verificare facilmente) e continua nel suo dominio $D = \RR$ e quindi in particolare nel punto $x_0 = 0$, per cui si ha:
$\lim_{x \to 0^-} Si(x) = \lim_{x \to 0^+} Si(x) = Si(0) = 0 $
La tua funzione $f(x)$ è più nota col nome di $Si(x)$, funzione seno integrale. Si tratta di una funzione dispari (cioè $Si(-x) = - Si(x)$, lo puoi verificare facilmente) e continua nel suo dominio $D = \RR$ e quindi in particolare nel punto $x_0 = 0$, per cui si ha:
$\lim_{x \to 0^-} Si(x) = \lim_{x \to 0^+} Si(x) = Si(0) = 0 $
"Indrjo Dedej":
Infine aggiungo il consiglio di usare il buon vecchio teorema fondamentale dell'analisi.
ID
Cioè ?!
"pilloeffe":
Si tratta di una funzione dispari (cioè $Si(-x) = - Si(x)$, lo puoi verificare facilmente) e continua nel suo dominio $D = \RR$ e quindi in particolare nel punto $x_0 = 0$
Capisco che una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine per cui passa per il punto $(0,0)$, ragion per cui si può affermare che il valore di $Si(x)$ nel punto $x_0 = 0$. Corretto?
Facendo un ragionamento più ampio se mi trovassi davanti sempre una funzione integrale come capire se la primitiva è continua?
Esempio:
$f(x)=\int_0^xf(t)dt$
In questo caso se non trovo la primitiva di $f(t)$ non sono in grado di trovare il dominio di esistenza della funzione e neppure capire se presenta punti di discontinuità nel suo dominio, giusto?
"zio_mangrovia":
Capisco che una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine per cui passa per il punto $ (0,0) $, ragion per cui si può affermare che il valore di $ Si(x) $ nel punto $ x_0 = 0 $. Corretto?
Non è detto che una funzione dispari sia definita nell'origine, ad esempio $f(x) = 1/x$ è dispari ma non ha senso parlare del suo valore nell'origine. Quello che si può dire è che se una funzione dispari e $0 \in Dom(f)$ allora vale $f(0)=0$.
"zio_mangrovia":
Facendo un ragionamento più ampio se mi trovassi davanti sempre una funzione integrale come capire se la primitiva è continua?
Esempio:
$ f(x)=\int_0^xf(t)dt $
Le funzioni integrali, ove definite, sono continue (vedi teorema fondamentale del calcolo integrale); se poi l'integranda è continua allora la funzione integrale è addirittura derivabile una volta con continuità (sempre teorema fondamentale del calcolo).
La funzione in esame $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$ rigorosamente parlando non è definita nello $0$ ma, si fa sempre così, poiché nello $0$ ha una discontinuità eliminabile, si pone $f(0)=1$ e in questa maniera si ottiene una funzione continua su tutto $\mathbb{R}$ e come tale non presenta problemi di integrabilità su un qualsiasi insieme limitato.
Quindi il dominio della funzione integrale è tutto $\mathbb{R}$ e dunque $F(0)=0$, dove con $F$ indico la funzione integrale di $f$.
"zio_mangrovia":
Esempio:
$f(x)=\int_0^xf(t)dt$
In questo caso se non trovo la primitiva di $f(t)$ non sono in grado di trovare il dominio di esistenza della funzione e neppure capire se presenta punti di discontinuità nel suo dominio, giusto?
Come fai a non trovarla se ce l'hai scritta sotto il muso
?Una piccola nota a quello che ha scritto Bremen000, non c'è bisogno che una funzione dispari sia CONTINUA in $0$, basta che sia definita.
"otta96":
Una piccola nota a quello che ha scritto Bremen000, non c'è bisogno che una funzione dispari sia CONTINUA in $0$, basta che sia definita.
Hai ragione, il bello è che ci avevo pure pensato! Grazie!
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