Calcolo Limite Complicato
Raga potreste aiutarmi a calcolare il seguente limite; nn so da dove iniziare:
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(xsqrt(1-ln^2x))$
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(xsqrt(1-ln^2x))$
Risposte
"identikit_man":
Raga potreste aiutarmi a calcolare il seguente limite; nn so da dove iniziare:
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(xsqrt(1-ln^2x))$
Applicanto il teorema di De l'Hospital il limite risulterà $0$
Ma si potrebbe risolvere anche con il confronto tra infinitesimi?
Prova ad effettuare una sostituzione del tipo $ ln(x)=y $ (quindi il limite tenderà a ...), riuscirai a vedere meglio il limite e ti sarà d'aiuto dopo che applichi l'Hopital! 
qui attuare un confronto fra infinitesimi diventa un po' complicato...perchè complicarsi la vita quando si può risolvere questo limite con il teorema di De L'Hopital, come dice appunto mazzy89?
Se non vuoi applicare De l'Hospital, basta fare una buona sostituzione e utilizzare il limite notevole del logaritmo
Utilizzandi dell'Hopital il limite che ottengo è : $lim_(x->(1/e)^+) 1/(sqrt(1-ln^2x)-ln(x)/(sqrt(1-ln^2x))$ xò ora il mio problema è un altro inquanto il limite iniziale che dovevo calcolare era $lim_(x->(1/e)^+) |x-1/e|^\alpha/(xsqrt(1-ln^2x))$ e vedere per quali valori di $\alpha>0$ il limite esiste finito; anche in questo caso posso ancora utilizzare dell'Hopital semplificandomi i calcoli?Oppure devo percorrere qualke altra strada.
Raga qualcuno mi può dare qualke suggerimento?Sn rimasto bloccato...
Perché De l'Hopital? Diventa pesante calcolare tutte quelle derivate. Invece confrontando gli infinitesimi (oppure applicando il limiti notevoli suggeriti da leena, che poi è lo stesso) è (IMHO) tutto più semplice. Infatti a numeratore abbiamo un infinitesimo del primo ordine; a denominatore c'è un termine $x$ che tende a un limite finito e una funzione infinitesima (per $x\to1/e^+$) $g(x)=sqrt(1-log^2x)$. Qual è l'ordine di infinitesimo di $g(x)$? Direi 1/2: intanto $g(x)=sqrt(1-logx)sqrt(1+logx)$, e il primo fattore tende a un limite finito quindi non dà contributo; il secondo invece è la radice quadrata di un infinitesimo del primo ordine (perché? limite notevole indicato da leena oppure, qui si, l'Hopital).
Tirando le somme il limite è 0, come conferma questo grafico:
[asvg]xmin=0;xmax=2;axes();plot("(x-exp(-1))/(x*sqrt(1-log(x)^2))");[/asvg]
P.S.:[mod="dissonance"]Il titolo del tuo messaggio è fuorviante, per favore sostituiscilo con "calcolo limite complicato" o qualcosa del genere. Grazie.[/mod]
Tirando le somme il limite è 0, come conferma questo grafico:
[asvg]xmin=0;xmax=2;axes();plot("(x-exp(-1))/(x*sqrt(1-log(x)^2))");[/asvg]
P.S.:[mod="dissonance"]Il titolo del tuo messaggio è fuorviante, per favore sostituiscilo con "calcolo limite complicato" o qualcosa del genere. Grazie.[/mod]
Scusa dissonance ma potresti spiegarmi perkè al numeratore si ha un infinitesimo del primo ordine?Nn ho molta praticità con gli infinitesimi...e anke a quale limite notevole ti riferisci, per quanto riguarda il logaritmo?
[mod="dissonance"]Per favore, il titolo... "Calcolo limite complicato" va bene. Altrimenti si capisce che parli di funzioni di variabile complessa.[/mod]
Il termine $x-1/e$ è per $x\to1/e$ proprio l'infinitesimo campione del primo ordine. Le definizioni che sto usando sono quelle di questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#321849
$lim_{t\to0}log(1+t)/t=1$.
Questo ti dice che $logx$ è un infinitesimo del primo ordine per $x\to1$. Da questo, e dalle proprietà dei logaritmi, segue subito che $1+logx$ è un infinitesimo del primo ordine per $x\to(1/e)^+$. Infatti:
$(1+logx)/(x-1//e)=(log e+logx)/(x-1//e)=(log(ex))/(x-1//e)={"sostituzione:"ex=y+1}\ e*(log(y+1))/y$
che tende a $e$ per $y\to0^+$, ovvero quando $x\to(1/e)^+$.
Naturalmente puoi anche non usare questo linguaggio di "infiniti e infinitesimi" e fare direttamente questi conti, che poi è il metodo suggerito da leena. Devi decidere tu con quale sistema ti trovi più comodo.
Scusa dissonance ma potresti spiegarmi perkè al numeratore si ha un infinitesimo del primo ordine?
Il termine $x-1/e$ è per $x\to1/e$ proprio l'infinitesimo campione del primo ordine. Le definizioni che sto usando sono quelle di questo link:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#321849
a quale limite notevole ti riferisci, per quanto riguarda il logaritmo?
$lim_{t\to0}log(1+t)/t=1$.
Questo ti dice che $logx$ è un infinitesimo del primo ordine per $x\to1$. Da questo, e dalle proprietà dei logaritmi, segue subito che $1+logx$ è un infinitesimo del primo ordine per $x\to(1/e)^+$. Infatti:
$(1+logx)/(x-1//e)=(log e+logx)/(x-1//e)=(log(ex))/(x-1//e)={"sostituzione:"ex=y+1}\ e*(log(y+1))/y$
che tende a $e$ per $y\to0^+$, ovvero quando $x\to(1/e)^+$.
Naturalmente puoi anche non usare questo linguaggio di "infiniti e infinitesimi" e fare direttamente questi conti, che poi è il metodo suggerito da leena. Devi decidere tu con quale sistema ti trovi più comodo.
Dissonace io ho provato a ragionare così dimmi se sbaglio:
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(xsqrt(1+ln^2(x)))$ a questo punto scrivo questo limite come segue $lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(sqrt(1+ln(x)))1/(xsqrt(1-ln(x)))$ ora il secondo fattore tende ad un numero finito e quindi nn ci sn problemi mi concentro sul primo fattore:
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(sqrt(ln(ex)))$ ora adopero la sostituzione: $ex=y+1$ e quindi ottengo:
$lim_(y->0^+)(y/e)^\alpha/(sqrt(ln(y+1)))$=$lim_(y->0^+)(y/e)^(\alpha)/(sqrt(y))$ utilizzando il fatto che $ln(x+1)$ è asintotico a $x$ per $x->0^+$ considerando poi un $\alpha=1/2$ ottengo che il limite converge a $1/sqrt(e)$ e quindi il limite iniziale avrà un valore positivo e finito quindi la funzione sarà sommabile in un intorno destro di $1/e$.Oppure potrei ragionare come hai fatto tu e calcolando gli ordini degli infinitesimi al numeratore e denominatore giusto?
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(xsqrt(1+ln^2(x)))$ a questo punto scrivo questo limite come segue $lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(sqrt(1+ln(x)))1/(xsqrt(1-ln(x)))$ ora il secondo fattore tende ad un numero finito e quindi nn ci sn problemi mi concentro sul primo fattore:
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(sqrt(ln(ex)))$ ora adopero la sostituzione: $ex=y+1$ e quindi ottengo:
$lim_(y->0^+)(y/e)^\alpha/(sqrt(ln(y+1)))$=$lim_(y->0^+)(y/e)^(\alpha)/(sqrt(y))$ utilizzando il fatto che $ln(x+1)$ è asintotico a $x$ per $x->0^+$ considerando poi un $\alpha=1/2$ ottengo che il limite converge a $1/sqrt(e)$ e quindi il limite iniziale avrà un valore positivo e finito quindi la funzione sarà sommabile in un intorno destro di $1/e$.Oppure potrei ragionare come hai fatto tu e calcolando gli ordini degli infinitesimi al numeratore e denominatore giusto?
"identikit_man":Fin qui va benissimo.
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(xsqrt(1+ln^2(x)))$ a questo punto scrivo questo limite come segue $lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(sqrt(1+ln(x)))1/(xsqrt(1-ln(x)))$ ora il secondo fattore tende ad un numero finito e quindi nn ci sn problemi mi concentro sul primo fattore:
$lim_(x->(1/e)^+) (x-1/e)/(sqrt(ln(ex)))$ ora adopero la sostituzione: $ex=y+1$ e quindi ottengo:
$lim_(y->0^+)(y/e)^\alpha/(sqrt(ln(y+1)))$=$lim_(y->0^+)(y/e)^(\alpha)/(sqrt(y))$ utilizzando il fatto che $ln(x+1)$ è asintotico a $x$ per $x->0^+$ considerando poi un $\alpha=1/2$ ottengo che il limite converge a $1/sqrt(e)$ e quindi il limite iniziale avrà un valore positivo e finito quindi la funzione sarà sommabile in un intorno destro di $1/e$.Oppure potrei ragionare come hai fatto tu e calcolando gli ordini degli infinitesimi al numeratore e denominatore giusto?Qui invece hai combinato un casino.
Aspetta con quella $alpha$. Fermati un attimo alla sostituzione di sopra: il limite da calcolare è equivalente a $lim_{y\to0^+}1/e*y/(sqrt(log(1+y)))$. E' adesso che sei al bivio: puoi applicare il limite notevole del logaritmo oppure ragionare in termini di infinitesimi. [Ora ti lascio che devo andare a mangiare, continuo dopo ... ]
Ma ora visto che per $y->0^+$ il logaritmo è infinitesimo nn posso applicare lo sviluppo asintotico del logaritmo cioè $ln(x+1) \sim x+o(x)$? o sbaglio?
Non sbagli. Sono tante maniere diverse per dire sempre la stessa cosa. Con la notazione o-piccolo a cui hai fatto riferimento puoi concludere così:
$lim_{y\to0^+}1/e*y/sqrt(log(1+y))=lim_{y\to0^+}1/ey/sqrt(y+o(y))={"moltiplicando e dividendo per "$sqrt(y)$}lim_{y\to0^+}sqrt(y)/e*sqrt(\frac{y}{y+o(y)})=0*1$.
$lim_{y\to0^+}1/e*y/sqrt(log(1+y))=lim_{y\to0^+}1/ey/sqrt(y+o(y))={"moltiplicando e dividendo per "$sqrt(y)$}lim_{y\to0^+}sqrt(y)/e*sqrt(\frac{y}{y+o(y)})=0*1$.
Ma per il fatto che vi sia quel valore $\alpha$ all'esponente nn cambia nulla?(perchè praticamente risolvere questo limite mi serve per capire la sommabilità della funzione).Potresti spiegarmi anke come fai ad ottenere 1 dal secondo fattore?E poi un'altra cosa $o(y)$ lo puoi tagliare giusto?
dissonance:
... il limite da calcolare è equivalente a $lim_{y\to0^+}1/e*y/(sqrt(log(1+y)))$. E' adesso che sei al bivio: puoi applicare il limite notevole del logaritmo oppure ragionare in termini di infinitesimi. [Ora ti lascio che devo andare a mangiare, continuo dopo ... ]
Puoi procedere così: $lim_{y\to0^+}1/e*y/(sqrt(log(1+y))) = lim_{y\to0^+}1/e*y/(sqrt((log(1+y)/y)y) $ che è equivalente a :
$lim_{y\to0^+}y/(sqrt(y)) = lim_{y\to0^+} sqrt(y) = 0$
"Marco512":
Puoi procedere così: $lim_{y\to0^+}1/e*y/(sqrt(log(1+y))) = lim_{y\to0^+}1/e*y/(sqrt((log(1+y)/y)y) $ che è equivalente a :
$lim_{y\to0^+}y/(sqrt(y)) = lim_{y\to0^+} sqrt(y) = 0$
Praticamente Marco tu lhai risolto moltiplicando e dividendo par $y$ il radicando in maniera da ottenere il limite notevole.Però io vorrei riuscire a capire come si risolve tramite infinitesimi(il mio prof è fissato).
Non so cosa vuole il tuo prof. ma sostituendo lo sviluppo del logaritmo arrestato a un certo ordine hai che $x$ è l'infinitesimo di ordine inferiore a tutti gli altri ($-x^2/2 + x^3/3 +...$), che sono di ordine superiore, dunque 'vince' x. Ricordo che per gli infiniti 'prevale' quello di ordine superiore, per gli infinitesimi è il contrario.
Riassumendo hai che il limite iniziale è equivalente al limite per $y\to 0$ di $y/sqrt(y)$
Riassumendo hai che il limite iniziale è equivalente al limite per $y\to 0$ di $y/sqrt(y)$
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