Calcolo limite bis
Salve a tutti, vorrei calcolare il seguente limite( $x->\pi/2$, so che non si legge molto bene ergo lo scrivo qui):
$lim_(x->\pi/2) (x*[2+sinx])$
Siccome sto calcolando un limite, non mi interessa il valore che la funzione eventualmente assume in quel punto; infatti nella definizione di limite scrivo $0<|x-x_0|<\delta$
$lim_(x->\pi/2) (sinx)=1^-$ ( si vede dal grafico del seno che in un intorno di $\pi/2$ il seno vale "quasi" 1)
Quindi il $lim_(x->\pi/2) (2+sinx)=3^-$
Applicando $[3^-]$, dal grafico si vede che questo è uguale a $2$, quindi:
$lim_(x->\pi/2) (x*[2+sinx])=\pi$
Vi pare tutto sensato?
$lim_(x->\pi/2) (x*[2+sinx])$
Siccome sto calcolando un limite, non mi interessa il valore che la funzione eventualmente assume in quel punto; infatti nella definizione di limite scrivo $0<|x-x_0|<\delta$
$lim_(x->\pi/2) (sinx)=1^-$ ( si vede dal grafico del seno che in un intorno di $\pi/2$ il seno vale "quasi" 1)
Quindi il $lim_(x->\pi/2) (2+sinx)=3^-$
Applicando $[3^-]$, dal grafico si vede che questo è uguale a $2$, quindi:
$lim_(x->\pi/2) (x*[2+sinx])=\pi$
Vi pare tutto sensato?
Risposte
Ciao Obi 
!
Ti leggo sempre volentieri e cercherò di seguire il tuo ragionamento anche se probabilmente non ti sarò d'aiuto (sei più preparato di me!)
Allora tutto bene, ma non capisco come mai 3, che si ottiene dal limite della parentesi più interna, diventa 2.
Secondo me tutto il limite dovrebbe venire $3/2pi$.
Cosa mi sfugge?
!Ti leggo sempre volentieri e cercherò di seguire il tuo ragionamento anche se probabilmente non ti sarò d'aiuto (sei più preparato di me!)
Allora tutto bene, ma non capisco come mai 3, che si ottiene dal limite della parentesi più interna, diventa 2.
Secondo me tutto il limite dovrebbe venire $3/2pi$.
Cosa mi sfugge?
è la funzione parti intere si indica con due parentesi quadre e fa corrispondere ad ogni reale il più grande intero minore o uguale ad x
P.s è divertente leggere le mie castronerie ahaha
si indica con due parentesi quadre e fa corrispondere ad ogni reale il più grande intero minore o uguale ad x P.s è divertente leggere le mie castronerie ahaha
non dici affatto castronerie!
Allora d'accordo, per quel che vale la mia approvazione, dico che a me sembra che fili tutto liscio!
Allora d'accordo, per quel che vale la mia approvazione, dico che a me sembra che fili tutto liscio!
Grazie se poi si scopre che è tutto sbagliato almeno potrò dire di aver ingannato qualcuno con i miei falsi ragionamenti
se poi si scopre che è tutto sbagliato almeno potrò dire di aver ingannato qualcuno con i miei falsi ragionamenti
Ariciao Obi!
Mi è sorto un dubbio: allora la funzione parte intera è quella nelle parentesi quadre giusto?
mentre la x che è fuori può assumere sia da sinistra sia da destra tutti valori reali, allora io la vedo così, da sinistra abbiamo una retta (inclinata di $45°$ )che si avvicina a $pi$ dal basso, a destra una retta, inclinata sempre nello stesso modo, che si avvicina a $pi$ dall'alto, ma la funzione in $pi/2$ ha un salto e troviamo un punto isolato ($pi/2; 3/2pi$).
Ho capito bene?
Vorrei correggermi: il coefficiente angolare della retta nell'intorno da noi considerato non è 1 ma 2, dunque non è inclinata di 45°.
Mi piacerebbe comunque sapere se la funzione è fatta da tratti di rette e punti isolati. Giacchè la funzione seno è limitata sia superiormente che inferiormente, mi sembra che il coeeficiente angolare della nostra retta possa assumere solo alcuni valori: 2 oppure 1.
Mi è sorto un dubbio: allora la funzione parte intera è quella nelle parentesi quadre giusto?
mentre la x che è fuori può assumere sia da sinistra sia da destra tutti valori reali, allora io la vedo così, da sinistra abbiamo una retta (inclinata di $45°$ )che si avvicina a $pi$ dal basso, a destra una retta, inclinata sempre nello stesso modo, che si avvicina a $pi$ dall'alto, ma la funzione in $pi/2$ ha un salto e troviamo un punto isolato ($pi/2; 3/2pi$).
Ho capito bene?
Vorrei correggermi: il coefficiente angolare della retta nell'intorno da noi considerato non è 1 ma 2, dunque non è inclinata di 45°.
Mi piacerebbe comunque sapere se la funzione è fatta da tratti di rette e punti isolati. Giacchè la funzione seno è limitata sia superiormente che inferiormente, mi sembra che il coeeficiente angolare della nostra retta possa assumere solo alcuni valori: 2 oppure 1.
non ti so rispondere 
il grafico di questa funzione è abbastanza complesso da disegnare... Infatti era richiesto solo il limite per fortuna
il grafico di questa funzione è abbastanza complesso da disegnare... Infatti era richiesto solo il limite per fortuna
Ciao Obi 
non ti conviene indicare cosi la parte intera...
Piu che altro, il problema è che quelle possono essere scambiate per delle semplici parentesi...
Quanto al limite. Io ragionerei cosi:
abbiamo solo funzioni continue (dove ci occorre) tra i piedi, e nessuna forma di indeterminazione. Per cui sostituiamo semplicemente $pi/2$ nell'espressione analitica della funzione
Il "problema" ora è determinare $\text{floor}(2+pi/2)$ (spesso la denoto cosi la parte intera). Niente di piu semplice:
approssimiamo per semplicità $pi$ a $3.14$, per cui $pi/2\sim 1.57$. Quindi
\[2+\pi/2\sim 3.57\implies \text{floor}(2+\pi/2)=3\]
E ora è facile calcolare il limite, che come giustamente diceva Gio risulta $3pi/2$
non ti conviene indicare cosi la parte intera...Piu che altro, il problema è che quelle possono essere scambiate per delle semplici parentesi...
Quanto al limite. Io ragionerei cosi:
abbiamo solo funzioni continue (dove ci occorre) tra i piedi, e nessuna forma di indeterminazione. Per cui sostituiamo semplicemente $pi/2$ nell'espressione analitica della funzione
Il "problema" ora è determinare $\text{floor}(2+pi/2)$ (spesso la denoto cosi la parte intera). Niente di piu semplice:
approssimiamo per semplicità $pi$ a $3.14$, per cui $pi/2\sim 1.57$. Quindi
\[2+\pi/2\sim 3.57\implies \text{floor}(2+\pi/2)=3\]
E ora è facile calcolare il limite, che come giustamente diceva Gio risulta $3pi/2$
Purtroppo nelle dispense e negli appunti mi ritrovo proprio le parentesi quadre, magari sarà una convenzione che si sono messi nel nostro dimat
il prof ha proprio detto che quello era il risultato che il 90% delle persone metterebbe sbagliando lui dice che non dobbiamo sostituire $\pi/2$ perché nel calcolo dei limiti non ci interessa se la funzione è definita in $x_0$ o meno.
In poche parole diceva.. per $x$ prossime a $\pi/2$ il seno vale quasi $1$ quindi quando facciamo la parte intera dobbiamo sommare questo numero che è circa $1$ a $2$ che non fa $3$ ma quasi $3$, quindi l'intero più piccolo o uguale a questo numero è $2$ e non $3$
il prof ha proprio detto che quello era il risultato che il 90% delle persone metterebbe sbagliando
lui dice che non dobbiamo sostituire $\pi/2$ perché nel calcolo dei limiti non ci interessa se la funzione è definita in $x_0$ o meno.In poche parole diceva.. per $x$ prossime a $\pi/2$ il seno vale quasi $1$ quindi quando facciamo la parte intera dobbiamo sommare questo numero che è circa $1$ a $2$ che non fa $3$ ma quasi $3$, quindi l'intero più piccolo o uguale a questo numero è $2$ e non $3$
"Obidream":
il prof ha proprio detto che quello era il risultato che il 90% delle persone metterebbe sbagliando
Ed ha ragione il tuo prof.
Infatti quando si passa al limite, si considera, per definizione, \(x\in I(\pi/2)\setminus \{\pi/2\}\) ove \(I(\pi/2)\) è un intorno sufficientemente ristretto di \(\pi/2\); ma in \(I(\pi/2)\setminus \{\pi/2\}\) si ha \(0\leq \sin x<1\) ergo \(2\leq 2+\sin x<3\) e dunque \([2+\sin x]=2\) identicamente.
Ne viene che:
\[
\lim_{x\to \pi/2} x\ [2+\sin x] = \lim_{x\to \pi/2} 2x=\pi\; .
\]
Il problema è che io sono un imbecille, tutto qua 
non capisco perchè c'ho il messo il $pi/2$ nella parte intera -.-
Scusami, oggi non è giornata
non capisco perchè c'ho il messo il $pi/2$ nella parte intera -.-Scusami, oggi non è giornata
"gugo82":
[quote="Obidream"]il prof ha proprio detto che quello era il risultato che il 90% delle persone metterebbe sbagliando
Ed ha ragione il tuo prof.
Infatti quando si passa al limite, si considera, per definizione, \(x\in I(\pi/2)\setminus \{\pi/2\}\) ove \(I(\pi/2)\) è un intorno sufficientemente ristretto di \(\pi/2\); ma in \(I(\pi/2)\setminus \{\pi/2\}\) si ha \(0\leq \sin x<1\) ergo \(2\leq 2+\sin x<3\) e dunque \([2+\sin x]=2\) identicamente.
Ne viene che:
\[
\lim_{x\to \pi/2} x\ [2+\sin x] = \lim_{x\to \pi/2} 2x=\pi\; .
\][/quote]
Grazie mille Gugo
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