Calcolo limite
Qual'è il valore del seguente limite, per $n$ tendente ad infinito?
$root(5)(n^5+10n^3+10n^2+5n)-n$.
Diverge per caso a meno infinito?
$root(5)(n^5+10n^3+10n^2+5n)-n$.
Diverge per caso a meno infinito?
Risposte
No, il risultato è $0$.
$\lim_{n \to \infty}root(5)(n^5+10n^3+10n^2+5n)-n = \lim_{n \to \infty}root(5)(n^5(1+10/(n^2)+10/n^3+5/n^4))-n = \lim_{n \to \infty}root(5)(n^5)-n=$
$\lim_{n \to \infty}n-n = 0$.
$\lim_{n \to \infty}root(5)(n^5+10n^3+10n^2+5n)-n = \lim_{n \to \infty}root(5)(n^5(1+10/(n^2)+10/n^3+5/n^4))-n = \lim_{n \to \infty}root(5)(n^5)-n=$
$\lim_{n \to \infty}n-n = 0$.
Ha ragione Demostene92.
Considera gli addendi al di sotto della radice, si ha:
$5n<<<<_(n->oo)10n^2<<<<_(n->oo)10n^3<<<<_(n->oo)n^5$
Quindi $root(5)(n^5+10n^3+10n^2+5n) ~~_(n->oo) root(5)(n^5) = n$
Quindi $n-n=0$.
Considera gli addendi al di sotto della radice, si ha:
$5n<<<<_(n->oo)10n^2<<<<_(n->oo)10n^3<<<<_(n->oo)n^5$
Quindi $root(5)(n^5+10n^3+10n^2+5n) ~~_(n->oo) root(5)(n^5) = n$
Quindi $n-n=0$.
Intanto vi ringrazio per le risposte, avevo scritto frettolosamente la soluzione, ma mi ero subito reso conto di avere sbagliato, per motivi tecnici non sono riuscito a correggere il messaggio,anche a me viene $0$.
Ora vi chiedo gentilmente se anche a voi i seguenti limiti sempre per $n$ tendente ad infinito danno il medesimo risultato:
$root(5)(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n)-n$ dà come limite $1$.
$root(5)(n^5+n^4+2n^3+2n^2+n)-n$ dà come limite $1/5$
$root(5)(n^5+15n^4)-n$ dà come limite $3$
$root(4)(n^4+6n^2+7)-n$ dà come limite $0$. (faccio notare che qui manca il termine $kn^3$)
$root(3)(n^3+3n+9)-n$ dà come limite $0$ (idem qui manca il termine $kn^2$
$root(2)(n^2+n+1)-n$ dà come limite $1/2$
$root(2)(n^2+2n+2)-n$ dà come limite $1$
Grazie, e resto in attesa di una risposta!
Ora vi chiedo gentilmente se anche a voi i seguenti limiti sempre per $n$ tendente ad infinito danno il medesimo risultato:
$root(5)(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n)-n$ dà come limite $1$.
$root(5)(n^5+n^4+2n^3+2n^2+n)-n$ dà come limite $1/5$
$root(5)(n^5+15n^4)-n$ dà come limite $3$
$root(4)(n^4+6n^2+7)-n$ dà come limite $0$. (faccio notare che qui manca il termine $kn^3$)
$root(3)(n^3+3n+9)-n$ dà come limite $0$ (idem qui manca il termine $kn^2$
$root(2)(n^2+n+1)-n$ dà come limite $1/2$
$root(2)(n^2+2n+2)-n$ dà come limite $1$
Grazie, e resto in attesa di una risposta!
Mi sembrano tutti corretti. E la tua osservazione sul fatto che manchi un termine è fondamentale (era quella che dicevo nell'altro post).
Alle soluzioni sono arrivato applicando il ragionamento, secondo me corretto, che avevo fatto nell'altro post, pertanto osservando i coefficienti dello sviluppo del binomio, in particolare se in generale ho:
$root(k)( n^k+bn^(k-1)+cn^(k-2)...)-n$, il valore del limite per $n$ tendente ad infinito, risulta $b/k$, quindi l'interesse si concentra sostanzialmente sul coefficiente del termine $n^(k-1)$, se tale coefficiente risulta uguale a $0$, cioè $b=0$, e quindi il termine $bn^(k-1)$, verrebbe a mancare, il limite in questo caso risulta essere $0$.
Inoltre aggiungo che se il coefficiente $a>0$ di $n^k$ risulta essere diverso da $1$, tale limite, sperando di non sbagliarmi,dovrebbe divergere ad più o meno infinito. Ad esempio $lim$$root(4)(2n^4+4n^3+3n^2+1)-n$ credo diverga ad infinito.
$root(k)( n^k+bn^(k-1)+cn^(k-2)...)-n$, il valore del limite per $n$ tendente ad infinito, risulta $b/k$, quindi l'interesse si concentra sostanzialmente sul coefficiente del termine $n^(k-1)$, se tale coefficiente risulta uguale a $0$, cioè $b=0$, e quindi il termine $bn^(k-1)$, verrebbe a mancare, il limite in questo caso risulta essere $0$.
Inoltre aggiungo che se il coefficiente $a>0$ di $n^k$ risulta essere diverso da $1$, tale limite, sperando di non sbagliarmi,dovrebbe divergere ad più o meno infinito. Ad esempio $lim$$root(4)(2n^4+4n^3+3n^2+1)-n$ credo diverga ad infinito.
Yes! Ecco, ora lo hai scritto bene: nell'altro post ti concentravi "nell'eliminare" termini senza riflettere sugli ordini di infinito/infinitesimo! Funziona esattamente così.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo