Calcolo limite
Salve, non riesco a trovare un metodo per il calcolo del seguente limite per $n$ tendente ad infinito:
$limroot(3)(n^3+3n^2+3n)-n$
Sicuramente mi sbaglio, ma non é che per caso il valore di tale limite risulta $1$?
resto in attesa di una risposta, grazie!
$limroot(3)(n^3+3n^2+3n)-n$
Sicuramente mi sbaglio, ma non é che per caso il valore di tale limite risulta $1$?
resto in attesa di una risposta, grazie!
Risposte
Proprio così, sai dire il perchè?
Sono alle prime armi, e pertanto conosco ancora poco l'argomento, quindi non sò proprio se le mie osservazioni siano sensate, comunque la considerazione che ho fatto é la seguente:
se il polinomio sotto radice fosse stato $(n^3+3n^2+3n+1)$ allora risulterebbe $root(3)(n^3+3n^2+3n+1)=(n+1)$,
da qui ho dedotto che man mano che $n$ tende ad infinito $root(3)(n^3+3n^2+3n)$$->$$(n+1)$, ed ho così concluso che
$lim$$root(3)(n^3+3n^2+3n)-n=(n+1)-n=1$;
se il polinomio sotto radice fosse stato $(n^3+3n^2+3n+1)$ allora risulterebbe $root(3)(n^3+3n^2+3n+1)=(n+1)$,
da qui ho dedotto che man mano che $n$ tende ad infinito $root(3)(n^3+3n^2+3n)$$->$$(n+1)$, ed ho così concluso che
$lim$$root(3)(n^3+3n^2+3n)-n=(n+1)-n=1$;
Ho tentato di calcolare ancora qualche limite di funzione irrazionale, evitando di procedere razionalizzando, ad esempio: $lim(root(2)(n^2+5n+3)-n)$, per avere sotto radice un quadrato perfetto dovrebbe essere $n^2+5n+(5/2)^2$ , cioé $(n+5/2)^2$, pertanto deduco che tale limite vale $5/2$. Procedendo con altri esempi: $limroot(2)(n^2+n)-n$ , in questo caso per avere un quadrato perfetto, sotto radice dovrebbe comparire $(n+1/2)^2$, pertanto il limite vale $1/2$.
$limroot(2)(n^2+2n)-n$, per avere un quadrato perfetto dovrebbe comparire $(n+1)^2$, quindi il limite vale $1$.
E così $limroot(2)(n^2+3n)-n$ per un quadrato perfetto dovrei avere $(n+3/2)^2$ pertanto il limite vale $3/2$.
In generale dovrebbe aversi $limroot(2)(x^2+bx+c)-x=b/2$, o mi sbaglio??
Ed ancora più in generale $limroot(2)(ax^2+bx+c)-root(2)(a)*x=root(2)(a)*(b/(2a))=b/(2root(2)(a))$, o mi sbaglio??
$limroot(2)(n^2+2n)-n$, per avere un quadrato perfetto dovrebbe comparire $(n+1)^2$, quindi il limite vale $1$.
E così $limroot(2)(n^2+3n)-n$ per un quadrato perfetto dovrei avere $(n+3/2)^2$ pertanto il limite vale $3/2$.
In generale dovrebbe aversi $limroot(2)(x^2+bx+c)-x=b/2$, o mi sbaglio??
Ed ancora più in generale $limroot(2)(ax^2+bx+c)-root(2)(a)*x=root(2)(a)*(b/(2a))=b/(2root(2)(a))$, o mi sbaglio??
Procedendo con la razionalizzazione (e supponendo $a>0$)
$\lim_{x\to+\infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-x=\lim_{x\to+\infty}{ax^2+bx+c-x^2}/{\sqrt{ax^2+bx+c}+x}=\lim_{x\to+\infty}{(a-1)x^2+bx}/{(\sqrt{a}+1)x}$ (usando il confrotno per infiniti)
Ora, se $a\ne 1$ il limite diventa $\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{a}-1)x=\pm\infty$ (il segno dipende dal segno di $\sqrt{a}-1$, mentre se $a=1$ il limite diventa $\lim_{x\to+\infty} {bx}/{(\sqrt{a}+1)x}={b}/{(\sqrt{a}+1)}$
Per cui, come vedi, il tuo ragionamento falla!
P.S.: ma io mi chiedo: se docenti, ricercatori, insegnati e gente che magari ne sa più di voi vi dice di usare un certo metodo, perché vi incaponite a cercare "sfumature nuove e inutili che vi portano a fare un buco nell'acqua"?
$\lim_{x\to+\infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-x=\lim_{x\to+\infty}{ax^2+bx+c-x^2}/{\sqrt{ax^2+bx+c}+x}=\lim_{x\to+\infty}{(a-1)x^2+bx}/{(\sqrt{a}+1)x}$ (usando il confrotno per infiniti)
Ora, se $a\ne 1$ il limite diventa $\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{a}-1)x=\pm\infty$ (il segno dipende dal segno di $\sqrt{a}-1$, mentre se $a=1$ il limite diventa $\lim_{x\to+\infty} {bx}/{(\sqrt{a}+1)x}={b}/{(\sqrt{a}+1)}$
Per cui, come vedi, il tuo ragionamento falla!
P.S.: ma io mi chiedo: se docenti, ricercatori, insegnati e gente che magari ne sa più di voi vi dice di usare un certo metodo, perché vi incaponite a cercare "sfumature nuove e inutili che vi portano a fare un buco nell'acqua"?
si chiaramente falla per $a$ diverso da $1$, ma per $a=1$ a me sembra che risulti vero.
Sì, ma non è per il ragionamento che fai tu!
daccordo, sapresti indicarmi dove è l'errore del ragionamento che faccio?
In effetti, frankicko, non hai commesso errori. Il tuo risultato è corretto, e coincide con quello di ciampax quando $a=1$.
Non coincide per $a\ne 1$ perché l'espressione che hai considerato tu è $\lim\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{a}x$ mentre quella considerata da ciampax non contiene $\sqrt{a}$ davanti a $x$.
E' istruttivo applicare il metodo che ti sei costruito per verificare che $\lim\sqrt{ax^2+bx+c}-x$ effettivamente diverge per $a\ne 1$, $a>0$.
PS: io credo che essere in grado di costruirsi da sè un metodo alternativo a qualunque altro metodo che è stato spiegato significa avere realmente capito cosa si sta facendo e perché, invece di limitarsi a ripetere ciò che è stato detto da altri.
Per questo motivo io non scoraggerei uno studente che prova a seguire un metodo alternativo per svolgere un esercizio standard.
Non coincide per $a\ne 1$ perché l'espressione che hai considerato tu è $\lim\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{a}x$ mentre quella considerata da ciampax non contiene $\sqrt{a}$ davanti a $x$.
E' istruttivo applicare il metodo che ti sei costruito per verificare che $\lim\sqrt{ax^2+bx+c}-x$ effettivamente diverge per $a\ne 1$, $a>0$.
PS: io credo che essere in grado di costruirsi da sè un metodo alternativo a qualunque altro metodo che è stato spiegato significa avere realmente capito cosa si sta facendo e perché, invece di limitarsi a ripetere ciò che è stato detto da altri.
Per questo motivo io non scoraggerei uno studente che prova a seguire un metodo alternativo per svolgere un esercizio standard.
Ad esempio come si fa a calcolare il valore del limite per $n$ tendente ad infinito di $root(4)(n^4+4n^3+6n^2+4n)-n$,
stando al mio errato ragionamento risulterebbe $1$, non riesco a rendermi conto dove sbaglio.
stando al mio errato ragionamento risulterebbe $1$, non riesco a rendermi conto dove sbaglio.
Scrivendo così
$root(4)(n^4+4n^3+6n^2+4n)-n=n\root(4)(1+4/n+6/n^2+4/n^3)-n\sim $
$\simn[1+1/4(4/n+6/n^2+4/n^3)]-n=1+3/{2n}+1/n^2$,
che da come limite $1$. Fai attenzione che cio' si verifica perché hai $4n^3$: ci fosse stato $12n^3$ il limite avrebbe avuto valore $3$.
P.S.: ho usato il fatto che $(1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t$ quando $t\to 0$.
$root(4)(n^4+4n^3+6n^2+4n)-n=n\root(4)(1+4/n+6/n^2+4/n^3)-n\sim $
$\simn[1+1/4(4/n+6/n^2+4/n^3)]-n=1+3/{2n}+1/n^2$,
che da come limite $1$. Fai attenzione che cio' si verifica perché hai $4n^3$: ci fosse stato $12n^3$ il limite avrebbe avuto valore $3$.
P.S.: ho usato il fatto che $(1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t$ quando $t\to 0$.
SLeone, ma che stai dicendo? Ma come diavolo gli usate i confronti con gli infiniti? Se ripetessi il procedimento si avrebbe (con $a$ qualsiasi)
$root(4)(n^4+an^3+6n^2+4n)-n=n\root(4)(1+a/n+6/n^2+4/n^3)-n\sim $
$\sim n[1+1/4(a/n+6/n^2+4/n^3)]-n={a/4+3/{2n}+1/n^2$,
che da come limite $a/4$. Prima di correggere e dire cavolate, imparate a fare i calcoli con i limiti, grazie!
$root(4)(n^4+an^3+6n^2+4n)-n=n\root(4)(1+a/n+6/n^2+4/n^3)-n\sim $
$\sim n[1+1/4(a/n+6/n^2+4/n^3)]-n={a/4+3/{2n}+1/n^2$,
che da come limite $a/4$. Prima di correggere e dire cavolate, imparate a fare i calcoli con i limiti, grazie!
Volendo svolgere il limite con il tuo metodo, francicko, potresti procedere così:
$\root(4)(n^4+4n^3+6n^2+4n)-n = \root(4)((n+1)^4-1)-n = \root(4)((n+1)^4-1)-(n+1)+1$
A questo punto puoi usare il fatto che $\lim_{k\rightarrow\infty}\root(n)(k^n-1)-k=0$, per $n\ge2$ (voglio evidenziare che questo fatto è stato implicitamente usato in tutti i tuoi ragionamenti, e andrebbe dimostrato a parte).
Come vedi il tuo metodo è comodo e semplice da utilizzare solo grazie alla scelta comoda dei numeri.
Nel caso più generale non si è così fortunati e il metodo esposto da ciampax è quello più efficace.
Invito comunque il signor ciampax a mostrare un comportamento più educato e meno infantile, evitando offese e insulti che sono decisamente fuori luogo e ingiustificati, nel rispetto delle regole del forum e soprattutto nel rispetto delle altre persone.
$\root(4)(n^4+4n^3+6n^2+4n)-n = \root(4)((n+1)^4-1)-n = \root(4)((n+1)^4-1)-(n+1)+1$
A questo punto puoi usare il fatto che $\lim_{k\rightarrow\infty}\root(n)(k^n-1)-k=0$, per $n\ge2$ (voglio evidenziare che questo fatto è stato implicitamente usato in tutti i tuoi ragionamenti, e andrebbe dimostrato a parte).
Come vedi il tuo metodo è comodo e semplice da utilizzare solo grazie alla scelta comoda dei numeri.
Nel caso più generale non si è così fortunati e il metodo esposto da ciampax è quello più efficace.
Invito comunque il signor ciampax a mostrare un comportamento più educato e meno infantile, evitando offese e insulti che sono decisamente fuori luogo e ingiustificati, nel rispetto delle regole del forum e soprattutto nel rispetto delle altre persone.
SLeone non mi invitare. Non vado da nessuna parte.
[xdom="Seneca"]Rammento ai partecipanti alla discussione che i messaggi postati sul forum devono poggiare su un sostrato di rispetto nei confronti degli altri iscritti.
In ogni caso non mi sembra ci sia stata una violazione del regolamento; pertanto blocco il thread, riservando agli altri moderatori o allo stesso ciampax (se crede) la decisione di eliminare eventuali parti di testo che possano essere considerate provocatorie.[/xdom]
In ogni caso non mi sembra ci sia stata una violazione del regolamento; pertanto blocco il thread, riservando agli altri moderatori o allo stesso ciampax (se crede) la decisione di eliminare eventuali parti di testo che possano essere considerate provocatorie.[/xdom]
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