Calcolo limite

[Obionekenobi1]

Sto cercando di calcolare il seguente limite:

$lim_(x->1) (x/(x-1)-(K+1)x^(K+1)/(1-x^(K+1)))$

Il risultato deve essere K/2. Mi sembra essere una forma indeterminata. Qualcuno ha qualche idea?

[laura1232]

Sei sicuro che il testo sia corretto? A me non viene una forma indeterminata e il risultato è $infty$

[Obionekenobi1]

Si sono sicuro.

[Kashaman]

ciao obionekenobi, hai provato a sostituire $y=x-1, y ->0$ ? mmh.. domani ci penso meglio.

[laura1232]

Rimango dell'idea che il risultasto sia $infty$ e non $k/2$.. Se provi a risolvere il limite per $k=1$ il risultato è $infty$ e non $1/2$ come previsto dalla soluzione. Tuttavia se si vuole cercare un modo per rendere il limite più semplice si potrebbe pensare di scomporre $1-x^{k+1}$ con la regola della differenza di potenze da cui $1-x^{k+1}=(1-x)(1+x+x^2+...x^k)$ e raccogliendo a fattor comune. Considera anche che $lim_{x\rightarrow 1}(1+x+x^2+...x^k)=k+1$ che si semplificherebbe con quello del testo

[lordb]

Fa $+-oo$ in base a che intorno prendi.

[yex1]

mi viene $\pm$$oo$

[Obionekenobi1]

Allora, la quantità all'interno del limite esprime il numero di clienti in un sistema con una coda M/M/1/K, e il suo grafico è una funzione continua nell'intorno di 1. All'indirizzo http://www.mediafire.com/view/?4cbz9wd36bduulh , a pg 10 potete trovare la funzione N=N($\rho$) graficata. Perciò è logico ritenere che nell'intorno di $\rho$=1 la funzione sia continua. E poi a me sembra che il limite venga una forma indeterminata e non $\pm$$\infty$.

[totissimus]

Hai sbagliato a scrivere la funzione:


\( \displaystyle \underset{x \rightarrow \infty}{lim} \left( \frac{1}{1-x}-(k+1)\frac{x^{k+1}}{1-x^{k+1}} \right)\)

[Obionekenobi1]

No. La discontinuità è in x=1, perciò mi serve di sapere li come si comportano le due code.

[laura1232]

Dalla pagina 10 puoi osservare che il limite è diverso da quello che avevi scritto. Basta cambiare il segno del denominatore del secondo pezzo per avere un risultato diverso. Di conseguenza:
$lim_{x\rightarrow 1}[x/{1-x}-(k+1) x^{k+1}/(1-x^{k+1})]=k/2$