Calcolo limite
Salve, ho il seguente limite da calcolare...Il risultato del libro è -2 ma io l'ho risolto in diversi modi e a me viene sempre zero...
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x $ ; questo limite si presenta nella F.I. $oo/oo$. Applico de l'Hopital:
$lim_(x -> -oo) (2x+2)/(2*sqrt(x^2 +2x)) -1=lim_(x -> - oo) (2(x+1))/(2*sqrt(x^2 + 2x)) - 1=lim_(x -> - oo) (x+1)/(sqrt(x^2 + 2x)) -1=lim_(x -> - oo) (sqrt(x+1)^2)/(sqrt(x^2 + 2x)) -1=lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x + 1))/(sqrt(x^2 + 2x)) -1=lim_(x -> - oo) sqrt((x^2 + 2x +1)/(x^2 + 2x)) -1= lim_(x -> - oo) sqrt(1 + 2/x + 1/x^2)/(1 + 2/x) -1=0$..
Ho provato pure senza de L'Hopital nel seguente modo:
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x= lim_(x -> - oo) ((sqrt(x^2 + 2x) - x)*(sqrt(x^2 + 2x) + x) )/(x*(sqrt(x^2 + 2x) + x))=lim_(x -> - oo) (2)/(sqrt(x^2 + 2x) + x)=lim_(x -> - oo) (2/(x*(sqrt(1 + 2/x) +1)))=0$
Non so dove sbaglio....
Grazie a chi mi aiuta.....
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x $ ; questo limite si presenta nella F.I. $oo/oo$. Applico de l'Hopital:
$lim_(x -> -oo) (2x+2)/(2*sqrt(x^2 +2x)) -1=lim_(x -> - oo) (2(x+1))/(2*sqrt(x^2 + 2x)) - 1=lim_(x -> - oo) (x+1)/(sqrt(x^2 + 2x)) -1=lim_(x -> - oo) (sqrt(x+1)^2)/(sqrt(x^2 + 2x)) -1=lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x + 1))/(sqrt(x^2 + 2x)) -1=lim_(x -> - oo) sqrt((x^2 + 2x +1)/(x^2 + 2x)) -1= lim_(x -> - oo) sqrt(1 + 2/x + 1/x^2)/(1 + 2/x) -1=0$..
Ho provato pure senza de L'Hopital nel seguente modo:
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x= lim_(x -> - oo) ((sqrt(x^2 + 2x) - x)*(sqrt(x^2 + 2x) + x) )/(x*(sqrt(x^2 + 2x) + x))=lim_(x -> - oo) (2)/(sqrt(x^2 + 2x) + x)=lim_(x -> - oo) (2/(x*(sqrt(1 + 2/x) +1)))=0$
Non so dove sbaglio....
Grazie a chi mi aiuta.....
Risposte
Non ho analizzato i tuoi conti però :
$(sqrt(x^2+2x)-x)/x= (|x|sqrt(1+2/x)-x)/x=-x(sqrt(1+2/x)+1)/x=-(sqrt(1+2/x)+1) $ che tende a $-2 $ per $x rarr -oo $.
Da ricordare che $sqrt (x^2) =|x| $ e se $x rarr-oo $allora $|x|=-x $.
$(sqrt(x^2+2x)-x)/x= (|x|sqrt(1+2/x)-x)/x=-x(sqrt(1+2/x)+1)/x=-(sqrt(1+2/x)+1) $ che tende a $-2 $ per $x rarr -oo $.
Da ricordare che $sqrt (x^2) =|x| $ e se $x rarr-oo $allora $|x|=-x $.
"yader":
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x $ ...
Non devi usare De L'Hopital. Il tuo limite diventa
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x)/x)-1$
poi "portando fuori" dalla radice $x^2$ hai già finito...
Per quanto riguarda i tuoi passaggi, quando hai usato De L'Hopital hai fatto quasi tutto giusto...
Hai sbagliato la seguente cosa
$x+1= sqrt((x+1)^2)$ non puoi scriverlo perchè $x$ tende a $-oo$ e dunque è negativo
Sarebbe $x+1= -sqrt((x+1)^2)$
Per quanto riguarda l'altro metodo ora ci dò un occhio
"yader":
Ho provato pure senza de L'Hopital nel seguente modo:
$ lim_(x -> - oo) (sqrt(x^2 + 2x) - x)/x= lim_(x -> - oo) ((sqrt(x^2 + 2x) - x)*(sqrt(x^2 + 2x) + x) )/(x*(sqrt(x^2 + 2x) + x))=lim_(x -> - oo) (2)/(sqrt(x^2 + 2x) + x)=lim_(x -> - oo) (2/(x*(sqrt(1 + 2/x) +1)))=0$
Non so dove sbaglio....
Grazie a chi mi aiuta.....
E' lo stesso problema di prima ovvero confondi termini negativi con termini positivi
$lim_(x -> - oo) (2)/(sqrt(x^2 + 2x) + x)$ = $lim_(x -> - oo) (2)/[[-x*sqrt(1+(2/x)) ]+ x]$ che è ancora una forma indeterminata $+oo -oo$
ok grazie mille ad entrambi....
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