Calcolo Limite
Ciao a tutti, mi potete aiutare a risolvere il seguente limite?
$lim_(x->2)(|e^(x-1)-e|)/((e^(x-1)+e)(sqrt(x^2-4x+4))$
Non riesco ad individuare limiti notevoli o altri elementi per semplificarlo..
$lim_(x->2)(|e^(x-1)-e|)/((e^(x-1)+e)(sqrt(x^2-4x+4))$
Non riesco ad individuare limiti notevoli o altri elementi per semplificarlo..
Risposte
gli $e$ di sotto non ti danno noia...
Io proverei a sviluppare $e^{x-1}$ con Taylor in $x=2$ e vedere come va a 0 il numeratore rispetto alla radice di sotto...
Fammi sapere
Ciao
[edit: ah scusami, ma mi sono accorto adesso che di sotto nulla ti va a 0, il limite quindi è 0, perchè non cè una forma indeterminata da sbrogliare, ti torna?]
Io proverei a sviluppare $e^{x-1}$ con Taylor in $x=2$ e vedere come va a 0 il numeratore rispetto alla radice di sotto...
Fammi sapere
Ciao
[edit: ah scusami, ma mi sono accorto adesso che di sotto nulla ti va a 0, il limite quindi è 0, perchè non cè una forma indeterminata da sbrogliare, ti torna?]
"Fox":
gli $e$ di sotto non ti danno noia...
Io proverei a sviluppare $e^{x-1}$ con Taylor in $x=2$ e vedere come va a 0 il numeratore rispetto alla radice di sotto...
Fammi sapere
Ciao
[edit: ah scusami, ma mi sono accorto adesso che di sotto nulla ti va a 0, il limite quindi è 0, perchè non cè una forma indeterminata da sbrogliare, ti torna?]
Come nulla? La radice va a zero.
si è una forma di indeterminazion 0/0.
Non sono molto pratico di Taylor ma non mi sembra che si ottengano risultati significativi
Non sono molto pratico di Taylor ma non mi sembra che si ottengano risultati significativi
"tommyr89":
Ciao a tutti, mi potete aiutare a risolvere il seguente limite?
$lim_(x->2)(|e^(x-1)-e|)/((e^(x-1)+e)(sqrt(x^2-4x+4))$
Non riesco ad individuare limiti notevoli o altri elementi per semplificarlo..
Come prima cosa, cambierei variabile in modo tale da avere il limite per $z -> 0$.
giusto, giusto una svista dovuto al fatto che ho guardato troppo veloce la formula... (nella mia testa 4x con x=2 era 6!!!) 
taylor è abbastanza importante quando non sai più cosa fare nei limiti, ma bisogna capire come usarlo bene
se sviluppi nell'intorno di x=2 (o di z=0) vedrai che la $e$ nel valore assoluto ti si semplifica e ottieni un polinomio sopra.
Come giustamente suggerisce Seneca se cambi la variabile magari ti risulta più facile gestirlo
taylor è abbastanza importante quando non sai più cosa fare nei limiti, ma bisogna capire come usarlo bene
se sviluppi nell'intorno di x=2 (o di z=0) vedrai che la $e$ nel valore assoluto ti si semplifica e ottieni un polinomio sopra.
Come giustamente suggerisce Seneca se cambi la variabile magari ti risulta più facile gestirlo
Per calcolare il limite
$lim_(x->2)$ $|e^(x-1)-e|/((e^(x-1)+e)*sqrt(x^2-4x+4))$
è opportuno semplificare la funzione in questo modo,
$|e^(x-1)-e|/((e^(x-1)+e)*sqrt(x^2-4x+4)) = (e*|e^(x-2)-1|)/(e*(e^(x-2)+1)*sqrt((x-2)^2)) = |e^(x-2)-1|/((e^(x-2)+1)*|x-2|) = 1/(e^(x-2)+1)*|(e^(x-2)-1)/(x-2)|$.
A questo punto, operando il cambiamento di variabile $t=x-2$ e ricordando il limite notevole $lim_(t->0)$ $(e^t-1)/t = 1$, si ha che,
$lim_(x->2)$ $1/(e^(x-2)+1)*|(e^(x-2)-1)/(x-2)|= lim_(t->0)$ $1/(e^t+1)*|(e^t-1)/t| = 1/2$.
$lim_(x->2)$ $|e^(x-1)-e|/((e^(x-1)+e)*sqrt(x^2-4x+4))$
è opportuno semplificare la funzione in questo modo,
$|e^(x-1)-e|/((e^(x-1)+e)*sqrt(x^2-4x+4)) = (e*|e^(x-2)-1|)/(e*(e^(x-2)+1)*sqrt((x-2)^2)) = |e^(x-2)-1|/((e^(x-2)+1)*|x-2|) = 1/(e^(x-2)+1)*|(e^(x-2)-1)/(x-2)|$.
A questo punto, operando il cambiamento di variabile $t=x-2$ e ricordando il limite notevole $lim_(t->0)$ $(e^t-1)/t = 1$, si ha che,
$lim_(x->2)$ $1/(e^(x-2)+1)*|(e^(x-2)-1)/(x-2)|= lim_(t->0)$ $1/(e^t+1)*|(e^t-1)/t| = 1/2$.
Grazie!!
in effetti il risultato è proprio quello ma capire quali sono le semplificazioni giuste da fare non era semplice.
in effetti il risultato è proprio quello ma capire quali sono le semplificazioni giuste da fare non era semplice.
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