Calcolo limite

[lepre561]

$lim_(xtoinfinity)((x^2+5x+3)/(x^2+2))^(x+(-1)^x)$

giacche $(-1)^x$ non esiste come sviluppo questo limite cioe non lo considero proprio quel tratto?

[Mathita]

Un modo per risolvere il limite prevede l'uso le proprietà delle potenze: rivedi la funzione $(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2})^{x+(-1)^x}$ come $(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2})^{x}\cdot (\frac{x^2+5x+3}{x^2+2})^{(-1)^x}$ dopodiché analizzi il limite di ciascun fattore.

Il primo può essere ricondotto alla definizione di $e$, il secondo è quello più delicato da trattare perché richiede di applicare il teorema del confronto. Sicuramente esiste una strada meno tortuosa, ma al momento non mi sovviene. In effetti, la voglia di trascurare quel $(-1)^{x}$ è tanta, però bisogna giustificare la soppressione come si deve.

[lepre561]

e quindi come verrebbe?

[Mathita]

Io ho provato ad aiutarti, ora tocca a te mettere un po' di tuo. Facciamo così, fammi vedere come calcoli il limite

$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2}\right)^{x}$

poi ci occupiamo dell'altro. Il risultato del limite di partenza è $e^{5}$.

[lepre561]

$((x^2+2)/(x^2+2)+(5x+1)/(x^2+1))^x$
$(1+5/x)^x$

[Mathita]

Ok, allora per quanto riguarda l'altro limite, rielabora la base come:

$\left(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2}\right)=\left(1+\frac{5x+1}{x^2+1}\right)$

dunque per ogni $x\in\mathbb{N}$ si ha che $\frac{5x+1}{x^2+1}>0$ pertanto $\left(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2}\right)>1$, da cui passando ai reciproci $\left(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2}\right)^{-1}<1$

pertanto per ogni $x\in\mathbb{N}$, si ha che

$\left(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2}\right)^{-1}\le \left(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2}\right)^{(-1)^x}\le\left(\frac{x^2+5x+3}{x^2+2}\right)$

Poiché i limiti delle espressioni esterne valgono 1, anche il termine centrale tende a 1.