Calcolo limite
$lim_(xto+infty)(e^(x^2)-cosx-x^2)/(tanx^4)$
avevo deciso di applicare gli sviluppi di taylor ed in particolar modo mi viene
$lim_(xto+infty)(1+x^2+o(x^2)-1+(x^2/2)+o(x^2)-x^2)/(x^4+o(x^4)$
$lim_(xto+infty)(x^2)/(2x^4)$
=$1/(2x^2)$=0
può andar bene
P.s sapete perchè scrivendo lo stesso limite pure su wolphram mi dice che sbaglio a scrivere in input?
avevo deciso di applicare gli sviluppi di taylor ed in particolar modo mi viene
$lim_(xto+infty)(1+x^2+o(x^2)-1+(x^2/2)+o(x^2)-x^2)/(x^4+o(x^4)$
$lim_(xto+infty)(x^2)/(2x^4)$
=$1/(2x^2)$=0
può andar bene
P.s sapete perchè scrivendo lo stesso limite pure su wolphram mi dice che sbaglio a scrivere in input?
Risposte
Non puoi usare Taylor, perché le funzioni in considerazione (esponente dell'esponenziale, argomento del coseno, argomento della tangente) non tendono a $0$ per $x\to+\infty$.
Quel limite si risolve nel "modo standard" con cui si risolvono i limiti per $x\to+\infty$.
Per quanto riguarda Wolfram|Alpha, probabilmente avrai messo male qualche parentesi; ricontrolla
Quel limite si risolve nel "modo standard" con cui si risolvono i limiti per $x\to+\infty$.
Per quanto riguarda Wolfram|Alpha, probabilmente avrai messo male qualche parentesi; ricontrolla
quindi si risolve con i limiti notevoli?
mi puoi dare qualche input?
mi puoi dare qualche input?
su wolfram ho scritto cosi
lim x->infinity ((e^(x^2)-(cosx)-(x^2))/(tanx^4))
lim x->infinity ((e^(x^2)-(cosx)-(x^2))/(tanx^4))
No, non si usano i limiti notevoli; ora ti do un input (anche se è praticamente ciò che ho scritto nel messaggio precedente a parole )
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2}-\cos x-x^2}{\tan x^4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2} \left(1-\frac{\cos x}{e^{x^2}}-\frac{x^2}{e^{x^2}}\right)}{\tan x^4}$$
Ti dice qualcosa ora?
)$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2}-\cos x-x^2}{\tan x^4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2} \left(1-\frac{\cos x}{e^{x^2}}-\frac{x^2}{e^{x^2}}\right)}{\tan x^4}$$
Ti dice qualcosa ora?
"lepre561":
su wolfram ho scritto cosi
lim x->infinity ((e^(x^2)-(cosx)-(x^2))/(tanx^4))
Prova a scriverlo come limit as x->+infinity of (e^(x^2)-cosx-x^2)/tan(x^4)
quindi viene infinito? perchè l'esponenziale tende a infinito più velocemente?
In realtà non viene $+\infty$, mi devi scusare ma ho flashato un'arcotangente al denominatore invece di una tangente (ho modificato il mio primo messaggio).
Il punto è che la tangente cambia di segno infinite volte su $\mathbb{\bar{R}^+}=[0,+\infty) \cup \{+\infty}$, perché è un rapporto tra seno e coseno: quindi anche se ciò che dici è corretto (l'esponenziale schiaccia tutte le altre funzioni al numeratore e quindi è quella dominante e quindi porta tutto il numeratore a tendere a $+\infty$) sta di fatto che il denominatore cambia continuamente segno, portando il limite a non esistere.
Diverso sarebbe stato se, come ho detto erroneamente prima, ci fosse stata un'arcotangente al denominatore.
In quel caso sarebbe stato $+\infty$
Se hai altri dubbi chiedi pure, scusa ancora per la gaffe.
Il punto è che la tangente cambia di segno infinite volte su $\mathbb{\bar{R}^+}=[0,+\infty) \cup \{+\infty}$, perché è un rapporto tra seno e coseno: quindi anche se ciò che dici è corretto (l'esponenziale schiaccia tutte le altre funzioni al numeratore e quindi è quella dominante e quindi porta tutto il numeratore a tendere a $+\infty$) sta di fatto che il denominatore cambia continuamente segno, portando il limite a non esistere.
Diverso sarebbe stato se, come ho detto erroneamente prima, ci fosse stata un'arcotangente al denominatore.
In quel caso sarebbe stato $+\infty$
Se hai altri dubbi chiedi pure, scusa ancora per la gaffe.
e quindi il risultato sarebbe? il limite non esiste?
Esatto.
ma quindi non si potrebbe fare nemmeno il raccoglimento perchè il $lim_(xto+infty)cosx$ non esiste
Perché non si dovrebbe poter fare?
Hai ragione sul fatto che quel limite non esiste, ma se è diviso per una quantità che tende a $+\infty$ (in questo caso quella quantità è $e^{x^2}$) si ha che quando passi al limite ottieni una quantità limitata divisa una che va a $+\infty$; quindi quel $\cos x$ non conta nulla perché tende a $0$ se diviso per $e^{x^2}$.
Quest'ultimo passaggio lo puoi dimostrare con il teorema dei due carabinieri.
Hai ragione sul fatto che quel limite non esiste, ma se è diviso per una quantità che tende a $+\infty$ (in questo caso quella quantità è $e^{x^2}$) si ha che quando passi al limite ottieni una quantità limitata divisa una che va a $+\infty$; quindi quel $\cos x$ non conta nulla perché tende a $0$ se diviso per $e^{x^2}$.
Quest'ultimo passaggio lo puoi dimostrare con il teorema dei due carabinieri.
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