Calcolo limite
Salve a tutti, qualcuno saprebbe calcolare questo limite?
$ lim x->0^+ (1/x * log (x/(log(1+x)))) $
Su wolframalpha dice che dovrebbe fare 1/2.
Ho provato a risolverlo nel seguente modo: sapendo che log (1+ f(x))/ f(x) = 1, ho sostituito 1 a questo (x/(log(1+x))), quindi log 1=0, ma così ottengo 0/0 e non so come proseguire.Inoltre mi sapreste consigliare un sito dove svolge limiti mostrando i passaggi? Grazie
$ lim x->0^+ (1/x * log (x/(log(1+x)))) $
Su wolframalpha dice che dovrebbe fare 1/2.
Ho provato a risolverlo nel seguente modo: sapendo che log (1+ f(x))/ f(x) = 1, ho sostituito 1 a questo (x/(log(1+x))), quindi log 1=0, ma così ottengo 0/0 e non so come proseguire.Inoltre mi sapreste consigliare un sito dove svolge limiti mostrando i passaggi? Grazie
Risposte
Notando che
\[ \log \left ( \frac{x}{\log (1+x)} \right) = \log \left ( \frac{x}{\log (1+x)} -1 +1 \right) = \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right) \]
il limite può essere riscritto come
\[ \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{x} \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right)} \]
D'altronde,
\[ \lim_{ f(x) \to 0} { \frac{\log \left ( 1 + f(x) \right)}{f(x)}} = 1 \]
quindi, sfruttando il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti (sotto determinate condizioni)
\[ \begin{align*} \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{x} \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right)} &= \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{x} \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right) \frac{ \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)}}{\frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)}}} \\ &= \underbrace{\left [ \lim_{x \to 0^+} { \frac{\log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right) } {\frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)}}} \right ]}_{ = 1} \left ( \lim_{x \to 0^+} { \frac{\frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} }{x}} \right) \\ &= \lim_{x \to 0^+} { \frac{ x - \log(1+x)}{x \log (1 +x)} \frac{x}{x}} \\ &= \left ( \lim_{x \to 0^+} {\frac{x - \log (1+x)}{x^2}} \right) \underbrace{\left (\lim_{x \to 0^+} { \frac{x}{\log(1+x)}} \right)}_{ = 1} \\ &= \lim_{x \to 0^+} { \frac{x - \log(1+x)}{x^2}} \end{align*} \]
Adesso ci sono (almeno) due modi di procedere: sviluppare in serie di Taylor il logaritmo o usare il Teorema De l'Hopital. Io scelgo la seconda strada. Derivando numeratore e denominatore:
\[ \lim_{x \to 0^+} { \frac{x - \log(1+x)}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} { \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x}} = \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{2 (1+x)}} = \frac{1}{2}\]
\[ \log \left ( \frac{x}{\log (1+x)} \right) = \log \left ( \frac{x}{\log (1+x)} -1 +1 \right) = \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right) \]
il limite può essere riscritto come
\[ \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{x} \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right)} \]
D'altronde,
\[ \lim_{ f(x) \to 0} { \frac{\log \left ( 1 + f(x) \right)}{f(x)}} = 1 \]
quindi, sfruttando il fatto che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti (sotto determinate condizioni)
\[ \begin{align*} \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{x} \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right)} &= \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{x} \log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right) \frac{ \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)}}{\frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)}}} \\ &= \underbrace{\left [ \lim_{x \to 0^+} { \frac{\log \left ( 1 + \frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} \right) } {\frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)}}} \right ]}_{ = 1} \left ( \lim_{x \to 0^+} { \frac{\frac{x - \log(1+x)}{\log (1+x)} }{x}} \right) \\ &= \lim_{x \to 0^+} { \frac{ x - \log(1+x)}{x \log (1 +x)} \frac{x}{x}} \\ &= \left ( \lim_{x \to 0^+} {\frac{x - \log (1+x)}{x^2}} \right) \underbrace{\left (\lim_{x \to 0^+} { \frac{x}{\log(1+x)}} \right)}_{ = 1} \\ &= \lim_{x \to 0^+} { \frac{x - \log(1+x)}{x^2}} \end{align*} \]
Adesso ci sono (almeno) due modi di procedere: sviluppare in serie di Taylor il logaritmo o usare il Teorema De l'Hopital. Io scelgo la seconda strada. Derivando numeratore e denominatore:
\[ \lim_{x \to 0^+} { \frac{x - \log(1+x)}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} { \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{2x}} = \lim_{x \to 0^+} { \frac{1}{2 (1+x)}} = \frac{1}{2}\]
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Gentilissimo grazie
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